CHAPITRE II. - APPLICATIONS DIVERSES

zontale, son rabattement est la droite oa3 parallèle à xy. Nous portons sur ces normales des longueurs ob3 et oa3 respectivement égales aux rayons de courbure 0,83 et 02À3, et nous achevons la construction comme précédemment. Le rayon de courbure de la courbe (wf <*/) au point (0, 0') est égal à oc; la trace horizontale du plan osculateur passe par les points N et M ( f ).

862. Considérations générales. — Nous avons exposé en détail la construction à laquelle les théorèmes d'Euler et de Meusnier conduisent pour la détermination du plan osculateur en un point d'une courbe donnée par ses projections. On doit recourir à cette solution quand on peut déterminer d'une manière précise les rayons de courbure des projections. Dans le cas contraire, il convient de préférer les tracés que nous avons fait connaître à l'article 448.

On obtient, par des procédés analogues, le rayon de courbure et le plan oscillateur en un point donné de la courbe d'intersection de deux surfaces quelconques, lorsque l'on connaît leurs sections principales en ce point, et leurs rayons de courbure; mais la construction du rayon de chaque section normale tangente à l'intersection exige des constructions plus laborieuses.

863. Quand la projection <«>' est une droite (Jig. 343), le cylindre horizontal est un plan; le rayon ob3 devient par suite infini, et la droite a.J>z est parallèle a oQ. Si, de plus, on suppose que la projection <*> soit un cercle, la construction donnera le rayon de courbure d'une ellipse en un point quelconque. En traduisant analytiquement les tracés, on obtient une expression du rayon de courbure applicable à l'hyperbole comme à l'ellipse. Nous ne nous arrêterons pas à cette question; nous remarquerons seulement qu'aux extrémités du grand axe, l'ellipse est tangente à une section droite du cylindre, et que par suite le théorème de Meusnier donne immédiatement pour le rayon de courbure l'expression que nous avons trouvée à l'article 779. Aux extrémités du petit axe, le plan de l'ellipse est normal au cylindre, et l'on obtient directement le rayon de courbure par le théorème d'Euler.

(») Appelons r ot r* les rayons de courbure en o et en o* des sections droites w et «'; R et R' ceux des sections normales tangentes; o le rayon de courbure cherché; « et a*, pet fies angles que forment avec les plans do projection le plan osculateur et la tangente OM en 0 à la courbe; y = coaz et 7'= cob* les angles du plan osculateur et des sections normales tangentes; 0 = a$obi l'angle des normales OP et OQ enO aux cylindres projetant la courbe.

Le triangle as obz donne l'équation p/R* -4- R'*— aRR' cos 9 = RR'sinO, qui, en vertu des relations r = R cos*p, /= R' cos2£' , fournit la valeur do 0 en fonction do r, r', p, {3', 0.

Comme âo = Rcosy, et comme le trièdro formé par le plan osculateur, le plan MOP et lo plan horizontal passant par O, donne cosx = cospeosy, on a, pour trouvor a, p cos3 6 = /-cosse. On obtient % au moyen d'une équation analogue.

Enfin, la dernière égalité peut servir à trouver les rayons do courbure d'une courbe plane, connaissant une projection do cette courbe, l'angle que son plan fait avec le plan do projection, ot les angles que ses tangentes forment avec ce plan. ( E. L. ).

Construction des sommets d'une surface d'égale pente.

864. Nous savons que la projection de l'un des sommets d'une surface d'égale pente sur un plan horizontal quelconque est le centre de courbure de la section de la surface par ce plan pour le point correspondant (art. 549). On peut, par conséquent, déterminer un sommet, quand on connaît la génératrice qui y passe et le rayon de courbure de la directrice horizontale au point correspondant.

Considérons la surface d'égale pente représentée sur les fig. 274 et 275, et proposons-nous de déterminer la position précise des sommets qui doivent se trouver sur les génératrices (BC, B'C) et (BD, B'D').

Nous pouvons déterminer sur A'B' le centre de courbure de l'ellipse directrice ( AB, A'B') pour le point B', et élevant en ce point une perpendiculaire IT" à A'B', nous avons une droite sur laquelle sont les centres de courbure des sections normales faites dans les deux nappes de la dévcloppable, par un plan contenant la tangente à l'ellipse (AB, A'B') au point (B, B') (art. 859).

La génératrice (BD, B'D') est, sur la nappe à laquelle elle appartient, une section principale pour le point B'. Le plan de la seconde section principale est perpendiculaire k la droite B'D', et par suite sa trace verticale est la droite BT perpendiculaire à B'D'. Le point r où elle rencontre la droite IT" est donc le centre de courbure de la seconde section principale. La projection du point r sur le plan horizontal du point B' serait la projection du sommet cherché J; sur le même plan, et en conséquence les points r et J' sont sur une verticale. De même, si l'on trace BT' perpendiculaire à B'C', la verticale du point V passera par le sommet/.

Pour la construction que nous venons d'exposer, il a suffi d'appliquer le théorème de Meusnier, parce que la tangente à la directrice au point B' est horizontale, et que par suite cette courbe est tangente à la section principale et à la section horizontale. Quand la tangente à la directrice au point 011 elle est rencontrée par la génératrice qui passe au sommet n'est pas horizontale, on doit appliquer successivement les théorèmes d'Kuler et de Meusnier, et par suite la construction est plus compliquée.

Détermination des tangentes à la courbe d'intersection de deux surfaces qui se touchent.

865. Supposons que deux surfaces A et B se touchent en un point 0; considérons deux surfaces du second degré A' et B' qui leur soient respectivement osculatriccs en ce point, et qui aient leur centre en un même point de la normale; enfin, appelons a et jS {fig. 344) les sections de ces surfaces par le plan diamé-