CHAPITRE II. - APPLICATIONS DIVERSES

tral parallèle au plan tangent en 0 : les coniques concentriques a et /3 se coupent généralement en quatre points E, G, F et H.

Les surfaces A' et B' sont tangentes au point 0, et à un autre point diamétralement opposé; leur intersection se compose donc de deux courbes planes auxquelles les points E, G, F et H appartiennent deux à deux (art. 252). Les traces des plans de ces lignes sur le plan des coniques a et ]3 sont les droites EF et GH.

Le plan passant par le point 0 et par la droite diamétrale VV, coupe les surfaces A et B suivant des lignes dont les rayons de courbure sont proportionnels aux carrés des rayons vecteurs CL et CK; la section faite dans la surface A loucliç donc extérieurement la section de la surface B. Le contraire a lieu pour les sections par le plan w,. Enfin, celles qui se trouvent contenues dans le plan EFsont osculatrices; ces surfaces ont donc dans le phin EFun point commun infiniment voisin de leur point de contact 0, et par suite elles se coupent suivant une ligne dont la tangente au point 0 est parallèle à EF. On trouve, par des raisonnements analogues, que leur intersection a une seconde branche dont la tangente est parallèle à GH.

Si l'on suppose que les coniques a et |3 soient transportées parallèlement a elles-mêmes, de manière que leur centre C arrive au point de contact 0, elles seront des indicatrices correspondant à une même valeur de la constante arbitraire c (art. 794 et 795), et les deux branches de la courbe d'intersection auront pour tangentes les diamètres communs EF et GH (* ).

Quand les indicatrices a et |3 se coupent en deux points seulement, ce qui arrive lorsque ce sont des hyperboles ayant leurs asymptotes croisées (art. 502), l'intersection n'a qu'une branche dont la concavité soit tournée vers le point pris pour centre des surfaces osculatrices; mais, si l'on place le centre de ces surfaces de l'autre côté du plan tangent, on trouve pour les courbes a et |3 deux hyperboles supplémentaires des premières, et qui déterminent par leurs points de rencontre la tangente à une seconde branche de l'intersection ayant sa concavité tournée vers le centre des nouvelles surfaces.

Dans le cas où les indicatrices se touchent, le diamètre passant par leurs points de contact est tangent à des sections normales surosculatrices; les surfaces, d'ailleurs, ne se coupent pas. Enfin, si les indicatrices ne se rencontrent pas, les surfaces n'ont en commun que leur point de contact 0.

Quand la surface B est un plan, son indicatrice /3 correspondant à une valeur finie du paramètre ca des axes infinis, et par suite tous ses points sont à l'infini. Les diamètres communs aux courbes a et /3 sont alors les asymptotes de *: ces droites sont donc tangentes aux deux branches de la courbe d'intersection, ce qui est conforme aux résultats de l'article 797.

(l) Cotto construction a été donneo par Th. Olivier (Journal de V École Polytechnique, XXIe Cahier. )

j6 LIVRE VIII. - COURBURE DES SURFACES.

866. Épure du conoïde de la voûte d'arêtes en tour ronde. — Nous allons appliquer la construction que nous venons d'exposer a la détermination des tangentes au point double de la courbe d'intersection du tore et du conoïde droit représentés sur \&fig. 3oi. Nous renvoyons à l'article 671 pour la génération de ces surfaces.

Les normales du conoïde en tous les points de la génératrice OV sont dans un môme plan; cette droite est donc une section principale en chacun de ses points. La seconde section principale pour le point double V est dans le plan vertical AB. , Si nous appelons R, le rayon de courbure de l'ellipse A'B' au point V\ lorsque cette courbe sera enroulée sur le cylindre vertical ab, son rayon de courbure en V sera R, coss (art. 474 et 819), o- étant l'angle de son plan osculateur avec le plan AB. Pour avoir le rayon de courbure en V de la section principale AB, il faut," d'après le théorème de Meusnier, diviser le rayon de l'ellipse enroulée par cosa : on trouve le rayon R,.

L'indicatrice se compose de deux droites parallèles à la section principaleOV qui a un rayon infini (art. 800), et si l'on appelle a leur distance au point V, on aura

a2 = R,c, ou a2=^Ty7c-

L'une des sections principales du tore pour le point V est la méridienne con-

tenue dans le plan OV; son rayon est-77-; l'autre section principale est contenue

dans le plan AB et a un rayon infini (art. 821). L'indicatrice se compose donc de deux droites parallèles à AB. En appelant b la distance de chacune d'elles au point V, on a

b2 = — je.

La longueur*? est arbitraire, mais elle doit être la même pour les deux indicatrices. Si nous la faisons égale à la hauteur du point V au-dessus du plan horizontal, les expressions ci-dessus deviendront

a= Y"B', b = Vi\

On peut donc prendre simultanément pour indicatrices du conoïde et du tore au point V les droites VA' et BB' d'une part, et de l'autre la droite Un et une autre droite parallèle à celle-ci et également distante du point V. On voit que la tangente en V à la branche EF passe par le point de rencontre u; on déterminerait delà même manière la tangente à l'autre branche.