CHAPITRE II. - APPLICATIONS DIVERSES. 5j

867. Cas où les surfaces tangentes sont des cônes ou des cylindres. — Quand les deux surfaces tangentes sont des cônes ou des cylindres, chaque indicatrice est composée de deux lignes droites, comme dans le cas que nous venons d'examiner, et Ton peut déterminer facilement les* tangentes à l'intersection au point double, lorsque Ton connaît, pour chaque surface, le rayon de la section faite par un plan perpendiculaire à la génératrice.

Il faut remarquer que toutes les fois que deux surfaces se touchent, les deux branches de leur intersection sont tangentes aux courbes suivant lesquelles se coupent deux surfaces qui leur sont respectivement osculatrices. Si nous avons choisi deux surfaces du second ordre ayant leur centre en un même point de la normale commune, c'est parce que leur intersection se compose de deux lignes planes, mais dans quelques circonstances on peut préférer d'autres dispositions.

On a souvent, pour des questions d'ombre, a considérer deux cônes ayant une directrice commune : leur intersection comprend une seconde courbe qui croise la directrice en des points où les surfaces se touchent ; on détermine ces points en menant à un des cônes des plans tangents par le sommet de l'autre. Quand la directrice est une conique, les surfaces sont du second ordre et leur deuxième intersection est plane comme la première (art. 252).

Dans le cas général, en remplaçant la directrice par son cercle osculateur au point de contact considéré, on obtient deux cônes du second ordre osculateurs des premiers et dont la deuxième ligne d'intersection est plane ; la trace de son plan sur le plan-tangent commun est la tangente a la ligne suivant laquelle les cônes primitifs se coupent.

868. Intersection d*un tore par une sphère tangente. — Nous savons construire les asymptotes de l'indicatrice d'une surface de révolution pour un point donné (art. 822), et par suite nous pouvons déterminer les tangentes au point double de l'intersection d'une telle surface par un plan qui la touche. Nousallonsrésoudre Fe problème dans un cas plus compliqué, celui où les surfaces tangentes sont un tore et une sphère.

Nous nous donnons l'axe (A, A'Z) du tore (fîg. 346), le méridien MNR de cette surface et le centre (C, C ) de la sphère. Nous faisons tourner le plan méridien AC de manière à le rendre parallèle au plan vertical; le point (C,C) se place en (C^C'J. Joignant ensuite le point C, au centre E du cercle MNR, nous prenons le segment C',0', pour rayon de la sphère. Lorsque l'on ramène le centre (C^C,) en (C,C), le point de contact (0,, 0'f) vient en (0,0').

En prolongeant la droite C^E jusqu'à sa seconde rencontre avec le cercle MNR, on aurait le rayon d'une autre sphère tangente au tore ; enfin on obtiendrait deux autres sphères également tangentes et ayant leur centre au point (C, C), en considérant le second cercle méridien contenu dans le plan XY.

Nous supposons que la sphère est enlevée, et nous représentons seulement le tore avec l'entaille qu'il doit avoir pour la recevoir.

On construit l'intersection des deux surfaces en les coupant par des plans horizontaux. Nous avons indiqué sur le plan vertical un arc P'O'yY de l'ellipse, projection du grand cercle de la sphère situé dans le plan vertical OAC. Cet arc passe par les points 7' et t de l'intersection où la tangente est horizontale. On détermine ces points en ramenant le centre de la sphère en (C|f C'J, prenant les intersections y', et t\ du grand cercle qui forme alors le contour apparent de la sphère avec le méridien du tore, et les reportant dans le plan OAC.

Le contour apparent de la sphère sur le plan vertical est le cercle GH contenu dans le plan CDL. L'arc (DL, D'L') est seul utile; nous l'avons indiqué par une ligne en points ronds, parce qu'il est virtuel (art. 535).

869. Dans la construction des tangentes au point double, nous supposerons d'abord que le centre (C, C) a été amené en (C|f C',) et le point de contact en

fo,,o;).

Nous plaçons le centre commun des surfaces osculatrices au point (C,, C, ): les indicatrices du point de contact sont alors, pour la sphère, un grand cercle de cette surface, pour le tore une conique dont les demi-axes ont les longueurs

v'o;c;xo;e, vo;c;xo;f.

Le premier axe est tangent au méridien et le second au parallèle.

Si nous faisons tourner le plan tangent 0\p' autour de la tangente au parallèle jusqu'à le rendre horizontal, les indicatrices se projetteront horizontalement en vraie grandeur. Leur centre est au point 0, ; celle de la sphère est le cercle dont le rayon a une longueur 0,B égale à C',0', ; l'autre est une hyperbole, car les segments .O^E et 0'', F ont des signes différents. En construisant les longueurs des axes (opération très facile que nous n'avons pas conservée sur la figure), on peut placer les sommets X et X,, et tracer les asymptotes 0, /x et 0, fx, .

Les indicatrices se rencontrent aux points (v, v') et v,, v') qui, lorsqu'on remet le plan tangent dans sa position 0,p', deviennent [p,p') et (p,, p'). Enfin, le mouvement qui ramène le centre de la sphère en (C, C) transporte le point ç en t. et les points ;p, p') et (p,, p') en (irf n') et (^nn\). J-.es tangentes cherchées sont i7iO,7r'0')et(-,0,7r;0').

870. Digression sur les sections circulaires du tore. — Si la sphère et le tore étaient bitangents, l'intersection aurait deux points doubles et présenterait des particularités remarquables. Avant d'examiner ce cas, nous allons étudier la courbe d'intersection d'un tore par un plan doublement tangent.

Le plan sécant étant supposé perpendiculaire au plan vertical, sa trace verticale sera une droite H'G' tangente en 1? et en F' à la méridienne complète (Jig. 3/17).