CHAPITRE II. - APPLICATIONS DIVERSES

On peut construire l'intersection par la méthode de l'article 192 : un plan horizontal auxiliaire xy fait trouver quatre points qui se projettent verticalement en M', et dont les projections horizontales sont M, M,, metm^

Pour avoir l'intersection dans sa vraie grandeur, nous rabattons le plan sécant sur le plan vertical OX, en le faisant tourner autour de sa trace H'G.Le point (M, M') se place en M* sur la perpendiculaire élevée en M' à H'G', et à une distance de 0' égale à ON', parce que tous les points d'un parallèle sont également éloignés du centre du tore.

Nous traçons le rayon IN, puis les droites O'e, Q'k et E k respectivement perpendiculaires à IN', E F etO'Z; enfin nous tirons Wk.

Les triangles semblables IN'v et FO> d'une part, O'31'fx et 0 1 F' de l'autre, donnent

IN' NS FF M> l'O' ~~ (Ye' l'O' — M'O''

En comparant ces équations terme à terme, on obtient

Nous savons, d'ailleurs, qu'il y a égalité entre les longueurs M"0' etN 0 ; les deux triangles rectangles 0'M"M' et O'N'e sont donc égaux, l'angle O'NT est égal à son homologue 0'M"M', et par suite à M"0'£. Si maintenant nous considérons les deux triangles 0'M"i et N'OT, nous voyons qu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun 5 chacun; il en résulte qu'il y a égalité entre leurs troisièmes côtés et que la distance du point M" de l'intersection au point fixe k est la longueur constante OT. Le lieu des points M" est donc un cercle décrit autour du point k avec un rayon égal à O'F. Si l'on raisonnait sur le point m\, on verrait qu'il appartient a un cercle dont le centre k% est symétrique de k par rapport à E'F' : donc l'intersection complète d'un tore et d'un plan bitangerit se compose de deux cercles égaux.

La projection horizontale de chaque cercle est une ellipse dont le grand axe est le diamètre projeté verticalement sur le point 0'. On trouve, d'après cela, que les grands axes des deux ellipses sont CD et C, D, : leur longueur est double deOT.

Le petit axe est la projection du diamètre qui a la plus grande pente. Les sommets H et G d'une ellipse correspondent par conséquent aux points H' et G' qui appartiennent l'un au parallèle inférieur, l'autre au parallèle supérieur; or les rayons de ces parallèles sont égaux à OT; la distance des sommets H et G au point 0 est donc égale à la moitié du grand axe CD, et le point 0 est un foyer commun des ellipses.

6o LIVRE VIII. - COURBURE DES SURFACES.

La tangente E'F' engendre, dans sa révolution autour de Taxe, un cône doublement circonscrit au tore. Tout plan'tangent à ce cône coupe le tore suivant deux cercles, et comme on peut mener deux plans tangents au cône de tout point du tore, on voit qu'il passe par chaque point de cette dernière surface deux sections circulaires indépendamment du méridien et du parallèle. Nous supposons que la surface n'a pas de points sur Taxe, sans cela deux méridiens contenus dans un même plan n'auraient pas des tangentes alternes communes, et le cône n'existerait pas.

871. Concevons que par les centres (K, 0'), (K,, 0') des cercles on élève des perpendiculaires (KV, O'V), (K,V,, O'V) à leur plan; chacune de ces droites sera le lieu des centres des sphères auxquelles appartient le cercle dont elle contient le centre. Si le plan sécant tourne en restant bi tangent, les deux droites (KV, O'V), (K, Vff O'V) entraînées dans le mouvement formeront les génératrices des deux systèmes d'un même hyperboloïde. On voit que les cercles situés dans les plans bitangents forment deux séries qui correspondent aux génératrices des deux systèmes d'un hyperboloïde de révolution.

Par un point quelconque de l'hyperboloide, il passe deux génératrices de systèmes différents, et les longueurs de ces droites comprises entre le plan horizontal et le point considéré sont évidemment égales. Ce point est donc le centre d'une sphère qui contient les deux cercles égaux dont ces droites sont les axes.

Deux cercles qui n'appartiennent pas à la même série sont sur une sphère, car leurs axes se rencontrent. Deux cercles d'une même série ne sont pas sur une sphère.

Toute sphère qui contient deux cercles est tangente au tore aux points où ces courbes se coupent.

L'axe horizontal de l'hyperbole méridienne de l'hyperboloide est égal à KK,; mais, en remarquant que les droites DD, etrf'i/, sont égales entre elles, et que les segments KD et KtDt sont égaux à OT, on reconnaît que KK, a la longueur du diamètre c'd' du cercle méridien du tore. L'hyperbole a d'ailleurs pour une de ses asymptotes la droite O'V; son demi-axe non transverse est donc

IVtangJ'O'V, ou l'F'tangOTF, ou enfin O'F.

D'après la grandeur des deux axes, on trouve que les centres Y et J' des cercles méridiens sont les foyers de l'hyperbole. Nous avons tracé cette courbe sur la fig. 34<>

872. Supposons maintenant qu'une sphère touche le tore en deux points; les normales communes aux deux surfaces en ces points se rencontrent au centre de la sphère et coupent l'axe en un même point ou en des points différents, suivant que les points de contact appartiennent ou non à un même parallèle. Dans le