CHAPITRE II. — APPLICATIONS DIVERSES. 6l

premier cas, la sphère est circonscrite au tore le long de ce parallèle; dans le second, que nous allons examiner, le plan des deux normales contient Taxe de la surface.

P et Q sont les points de contact (fig. 3^9); I' et J' les centres des cercles méridiens sur lesquels se trouvent ces points; m le centre de la sphère hitangente et OZ Taxe du tore. Nous désignerons par la lettre b le rayon PP.

On a

mI'-Pl' = mJ'4-J'Q;

/ni' — mJ'= ib.

Le point m est donc sur une hyperbole dont Taxe transverse est ib et dont les foyers sont Y et J\ c'est-à-dire sur l'hyperbole lieu des centres des sphères qui coupent le tore suivant deux cercles. Mais ces dernières sphères sont bitangentes (art. 871) et leurs points de contact sont nécessairement dans le plan méridien de leur centre. Celle dont le centre est en m se confond donc avec la sphère tangente en P et en Q, car le point/n n'étant pas sur l'axe O'Z ne peut être le centre de deux cercles distincts tangents l'un et l'autre aux cercles I'P et J'Q. Donc toute sphère bitangente à un tore, et non circonscrite, coupe cette surface suivant deux cercles égaux (f). Les plans qui ont deux points de contact doivent être considérés comme des sphères doublement tangentes, et dont les centres sont aux points de l'hyperboloïde situés à l'infini.

Si l'abscisse OT est plus petite queZ>, les sommets L et T seront au delà des foyers l' et J', et l'hyperbole méridienne se changera en une ellipse LRTS {fig. 348 ). Le lieu des centres des sphères bitangentes (et non circonscrites) deviendra donc un ellipsoïde. Les génératrices rectilignes seront alors imaginaires, ainsi que les sections circulaires qui leur correspondent (2).

(>) On peut aussi remarquer que la droite qui irait du point P au point Q passerait par le contre 0' du tore et serait, par conséquent, dans deux plans tangents au cône de révolution que nous avons considéré à l'article 870. Chacun de ces plans coupe le tore suivant deux cercles dont un se confond avec la section faite dans la sphère, car il passe par les points P et Q, et il y touche cette section.

Pour prouver que lo point 0' où la droite PQ coupe I'J' est le contre du tore, on mène la droite J'Qi passant par le point d'jntersection de la circonférence J' et de la droite PQ; les angles J'QQi, J'QiQ ot mVQ étant égaux, J'Qt est parallèle à //iP; alors les triangles O'J'Qi et OTP sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à doux angles égaux chacun à chacun, et par suite J'O' égale l'O'.

(*) Yvon Villarceau a établi que tout plan bitangent coupe lo tore suivant doux cercles (Comptes rendus, 1* semestre, 18 (8). M. Mannheim a reconnu que les sphères doublement tangentes jouissent de la môme propriété (Nouvelles Annales de . Mathématiques, 1860). Nous avons démontré, sur la surface engendrée par la révolution d'une conique autour d'une droite située d'une manière quelconque dans r espace, des théorèmes plus généraux, et dont les propositions insérées aux articles 870-872 ne sont que des corollaires (Journal de r École Polytechnique, XL* cahier, i863).

Rayons de courbure de la section du tore par un plan tangent. 873. L'équation (24) de l'article 817

2Pv/-RiRi

va nous permettre de déterminer les rayons de courbure de la section du tore par un plan tangent, au point double de cette courbe (*).

Nous appelons, comme précédemment, b le rayon IM du cercle méridien {Jig. 35o) et a la distance 01 de son centre à l'axe de la surface. Nous prenons pour axes coordonnés les droites OX, OZ et leur perpendiculaire commune au point 0.

L'équation du cercle méridien est

Pour avoir l'équation du tore, il suffit de remplacer l'abscisse X par le rayon Y X2 4- Y2 du parallèle correspondant. En faisant disparaître le radical, on obtient

(1) (X2+Y2 + Z2-ffl2-4Jf-.ifl2(X2+Y2) = o.

Nous allons considérer l'intersection de la surface par le plan qui la touche en un point M déterminé, sur la méridienne, par l'azimut MIO, que nous appelons u>.

Nous transportons l'origine au point M, et nous prenons pour nouveaux axes coordonnés les droites IVLr, Ms et leur commune perpendiculaire. On a

SX = x sinto — z cosco — b cosco 4- a% Z = x coscu -h z sino> 4- b sin<o.

{}) On peut appliquer la règle de l'article 779 pour trouver les rayons de courbure en un point double d'une courbe piano, en modifiant ainsi cette règle. L'équation, en coordonnées rectangulaires, d'une courbe plane ayant à l'origine un point double M,- ne renferme pas de termes inférieurs au second degré. Prenant une tangenle en M pour axe des a et sa perpendiculaire on M pour axe des p, l'équation de la courbe, rapportée à ces axes, no doit pas contenir do terme en a*. Donc le rapport de a1 à ap s'obtiendra après avoir annulé les termes infiniment petits d'un ordre supérieur au troisième.

Pour le cas examiné par l'Auteur, on fait z — o dans la dernière équation do l'article 873, on remplace x et y respectivement par a cos 0 — (3 sin Ô et a sinô -f- j3 cosô, 0 étant égal à l'angle xM a, on supprime les termes infiniment petits d'un ordro supérieur au troisième, ce qui donne

a3 sinw cosô -+- a*(a cos20 — b cosw) — aa ap sin0 cosÔ = o.

Le coefficient de a* devant être nul, on trouve sinO, et par suite la valeur de p donnée à l'article 876.