CHAPITRE II. - APPLICATIONS DIVERSES

Eu portant ces valeurs dans l'équation (r), on obtient pour nouvelle équation de la surface

[#*+ v2-h z2 -+- 2«(,r sinw — ccosw)-h 2b z -4- 2a(à — £cos<o)]2 — 4aa[(<^siiuo — scosco)2-i-2(a— £coso>)(.rsin<o — 5C08<o)+(éi— 6cosco)a+vîJ=o.

874. Si nous ne considérons que la partie de la surface voisine du point M, les coordonnées x et y seront infiniment petites du premier ordre et l'ordonnée z infiniment petite du second ordre. Développant alors l'équation et négligeant les termes d'un ordre supérieur au troisième, au fur et à mesure qu'ils se présentent, on obtient, après quelques réductions qui se présentent d'elles-mêmes,

\ (a — b cosci>).r2 — £y2coso> -h ib(a — b cosco)^

' 4- (x2 -hy2)xs\r\ta -h 2bxzs\mo = o.

Pour avoir l'équation de l'indicatrice, il suffit de négliger les termes du troisième ordre, ce qui donne

(a — b cosw)^2— by2 cosco -h 2b(a — b cosco)^ = o.

On déduit immédiatement de cette équation les valeurs suivantes des rayons de courbure des sections principales (art. 791)

•n i t» a — b COSw

1 2 COSto

Nous trouvons une valeur négative pour le rayon de courbure de la méridienne, parce que les formules (2) ont été établies dans l'hypothèse que la partie positive de l'axe des coordonnées s'étend de M vers z (art. 777).

875. Le point pour lequel nous voulons déterminer les longueurs a et (l est situé sur une section faite par un plan normal contenant une asymptote de l'indicatrice. Les coordonnées x et y de ce point satisfont donc à l'équation des asymptotes que l'on obtient facilement d'après la grandeur des rayons de courbure, ou en supposant z nulle dans l'équation de l'indicatrice; on a donc

(4) [a — b coso>),r2 — by2 cosco = o.

Eu égard à cette relation, l'équation (3) se réduit à

2b(a — bcosw)z -h (x2 -hy2)xs\ino -f- zbxzs'mt» = o.

En résolvant par rapport à z, on obtient

^ (\r2-f-y,).rsinuj

" ib{a — ù cos<*>) -h 2 b x s'mtn'

64 LIVRE \*ni. - COURBURE DES SURFACES.

Si Ton effectuait la division, le second terme du dénominateur n'introduirait qu'un infiniment petit du quatrième ordre; nous pouvons donc le supprimer, et écrire simplement

(d) z = Tt 1 \[& 4-r2)^r.

v ' 20 (a — ^cosw) v - '

876. Le calcul du rayon p ne présente plus de difficultés. Nous avons immédiatement

La substitution des valeurs de y2 et de 5, déduites de ces formules, dans les équations (4) et (5), donne

{'\bis) aœ2 — a2icosw = o,

(5 te) |3=-

sinto

2b(a — 6cosu>)

En portant la valeur (5 te) de /3 dans l'équation qui est au commencement de l'article 873, on obtient

ab(a— 6cosu>)

a?sinwy/— HtRi

Les valeurs de R, et de R2 ont été trouvées à l'article précédent. L'équation (4 te) donne le rapport*; pour avoir l'expression cherchée, il suffit d'éliminer ces trois quantités entre les trois équations précédentes. On obtient

p = -. — Jaia — freosu).

r sinw * v '

Cette équation conduit à une construction très simple pour la grandeur absolue du rayon p.

Le plan méridien du point de contact divise la section en deux parties symétriques, et par suite les rayons de courbure des deux branches ont les mêmes longueurs.

Quand le point M est en A, w est nul et p infini : chaque branche possède alors une inflexion. Lorsque la trace MT du plan tangent touche la méridienne inverse, on a

6 — acosw = o, ou co = go°.

Dans un cas comme dans l'autre, le' rayon p est égal à a, ce qui s'accorde avec les résultats de l'article 870. Il existe une valeur de w comprise entre les deux précédentes qui donne pour p une valeur minimum. Nous remarquerons enfin