THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES

Démonstration de ce théorème.

877. Nous avons vu qu'une courbe d'ombre propre est une ligne de contact de la surface considérée avec une développable. En chacun de ses points les plans tangents aux deux surfaces se confondent, et par suite le procédé que l'on emploie ordinairement pour la construction des tangentes aux lignes communes à deux surfaces est inapplicable. On doit à Ch. Dupin un théorème qui permet de déterminer les tangentes à une courbe d'ombre propre, lorsque l'on- connaît les rayons de courbure de la surface éclairée (2). Nous allons démontrer ce théorème, nous en développerons ensuite les conséquences.

Soit iî [fig. 35/|) la courbe de contact d'une développable avec une surface donnée : l'intersection des plans tangents au point 0 de cette ligne et au point infiniment voisin m est une génératrice de la développable. Un plan passant par le point m et parallèle au plan tangent en 0 coupe la surface suivant une conique Fm que l'on peut prendre pour indicatrice (art. 789). La tangente mG à cette courbe est parallèle à la génératrice de la développable, car elle est parallèle au plan tangent en 0 et située dans le plan tangent en m; mais elle est aussi parallèle au diamètre IF qui, dans l'indicatrice, est conjugué à celui qui aboutit au point m; le diamètre IF est donc parallèle à la génératrice de la développable. Le diamètre \m est d'ailleurs parallèle k la tangente OT à la courbe il ; on peut même dire qu'il se confond avec elle, car leur distance est infiniment

(!) Nous indiquerons en quelques mots une dernière application aux surfaces de révolution des théorèmes relatifs à la courbure des surfaces.

Quand une surface de révolution est donnée par son axe et une courbe génératrice, si une tangente à cette ligne est perpendiculaire au plan méridien du point do contact, la méridienne a un point de rebroussement. La tangente de rebroussement est tangente à la zone sphériquo décrite par la révolution du cercle osculateur de la génératrice, et par suite on peut la tracer lorsque l'on connaît lo centre de courbure de cetto ligno. La construction que nous venons d'indiquer nous a été utile dans nos études sur le tore général (Journal de l'École Polytechnique, XL* Cahier. i863).

(*) Développements de Géométrie.

petite du second ordre et le point m peut être considéré comme appartenant à OT. Nous voyons ainsi que, quand une développable est circonscrite à une surface, en un point quelconque de la courbe de contact, la tangente à cette ligne et la génératrice de la développable sont deux diamètres conjugues de l * indicatrice de la sur- Jace inscrite.

Si l'on se reporte aux considérations présentées à l'article 598 sur les asymptotes des courbes du second ordre, on verra que Ton peut modifier l'énoncé du théorème, et dire que la tangente à la courbe de contact et la génératrice de la développable sont conjuguées harmoniques des asymptotes de l'indicatrice. Le théorème ainsi présenté devient d'un emploi facile pour les surfaces à courbures opposées.

La tangente T et la génératrice G sont appelées tangentes conjuguées, parce que, si la première était une génératrice d'une développable circonscrite, la seconde serait tangente à la courbe de contact.

Construction des tangentes aux courbes d'ombre propre.

878. Le théorème des tangentes conjuguées permet de construire les tangentes aux courbes d'ombre propre, lorsque l'on peut déterminer l'indicatrice de la surface au point considéré. Les propriétés des diamètres conjugués des courbes du second ordre étant projectives, on peut opérer sur un plan de projection, comme on le ferait sur le plan de l'indicatrice.

Proposons-nous de déterminer la tangente au point (M, M') de la courbe d'ombre du tore représenté sur hjig* 212. Nous transportons le point (M, M') en (R,R') sur le méridien principal, par une rotation autour de l'axe, et nous déterminons les rayons de courbure R'C et R'co du méridien et de la seconde section principale (art. 821). Les centres de courbure C et w sont d'un même côté du point R\ et par suite l'indicatrice est une ellipse.

Nous prenons le paramètre c égal à R'C (art. 787), alors les demi-axes de l'indicatrice sont

R'C, vR'wxRC ou R'F.

Le premier correspond au rayon de courbure de la méridienne; nous le plaçons en R'C', sur la tangente à cette courbe; la projection le réduit sur le plan horizontal à la longueur RC,, qui doit être ramenée en Me. Le second axe est horizontal et se projette en vraie grandeur sur la droite JMJ, double de R'F et perpendiculaire à OM. Le problème qu'il faut résoudre consiste à tracer le diamètre conjugué du rayon lumineux SMT, dans l'ellipse qui a son centre en M et dont les points J, J< et c sont trois sommets. Considérons le cercle qui a pour diamètre JJ, et qui se projette sur cette cl-