CHAPITRE III. - THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES

lipse, et faisons-le tourner autour de JJ, jusqu'à le rendre horizontal : le point qui se projetait en c ira en K; la corde Je deviendra JK; le point /2 sera amené en /3,, et le diamètre Mj5T en M/3,. Le diamètre conjugué à M/3, dans le cercle est la perpendiculaire Ma, à M/3,. Si nous ramenons le cercle dans sa première position, la corde J,K se place en J,c, le point a, arrive en a, et la droite Ma est dans l'ellipse le diamètre conjugué à MT; c'est donc la projection horizontale de la tangente à la courbe d'ombre. La tangente étant dans le plan tangent au point (M, M'), on obtiendrait facilement sa projection verticale.

Les tracés deviennent plus simples quand la surface est à courbures opposées : on détermine alors les asymptotes de l'indicatrice, et l'on cherche la conjuguée harmonique du rayon de lumière.

La construction que nous avons fait connaître aux articles 8i9 et 855 peut être employée dans tous les cas, lorsque la surface est convexe comme lorsque ses courbures sont opposées.

879. Quand l'un des rayons de courbure est infini, l'indicatrice se compose de deux droites parallèles; alors, quelle que soit la direction du rayon de lumière dans le plan tangent, le diamètre qui lui est conjugué est la tangente à la section principale dont le rayon est infini. On voit, d'après cela, que si,- sur une surface développable, un point non situé sur l'arête de rehaussement appartient à une ligne d'ombre, la génératrice qui y passe fera partie de cette ligne, ce qui est conforme aux résultats que nous avons obtenus précédemment (art. 679).

Quand le point lumineux est sur la tangente à la section dont le rayon est infini, le théorème donne une direction indéterminée pour la tangente à la courbe d'ombre ; il ne suffit donc plus à la solution du problème. Nous ne nous arrêterons pas à ce cas particulier ( ' ).

880. Lorsque l'un des rayons principaux est nul, l'indicatrice est une ellipse dont un des axes est nul (art. 808). Quelle que soit alors la direction du rayon de lumière, son diamètre conjugué se confond avec l'autre axe, et par conséquent toutes les lignes d'ombre sont tangentes à la section principale dont le rayon n'est pas nul. Il résulte d'ailleurs de la multiplicité des plans tangents au point considéré qu'une infinité de lignes d'ombre y passent. Nous obtenons ainsi une extension du théorème que nous avons démontré à l'article 654 pour les sommets des surfaces gauches.

881. Quand te point lumineux est sur la surface éclairée, la courbe d'ombre a deux branches qui se croisent à ce point tangentes aux deux asymptotes de Vindica-

(1) On trouvera uno étude de cette question dans les lemmes qui sont au commencement de notre Mémoire sur les lignes d'ombre et de perspective des surfaces de révolution ( Journal de r Ecole Polytechnique, XXXVe Cahier, i853). Nous nous bornerons à dire que, dans le cas dont il s'agit, le point considéré de la surface est en général un point double de la courbe d'ombre.

trice, car une quelconque de ces droites passe au point lumineux» et peut être regardée comme tangente à la surface en un point infiniment voisin. Elle est d'ailleurs son propre diamètre conjugué.

Construction des tangentes et des asymptotes aux courbes d'ombre propre des surfaces gauches.

882. Nous savons que les secondes asymptotes des indicatrices aux différents points d'une génératrice d'une surface gauche forment unhyperboloïde(art.825). Quand on connaît trois de ces droites l'hyperboloïde est déterminé, et l'on peut obtenir la tangente a une courbe d'ombre au point où elle rencontre la génératrice. Dans l'étude qui va suivre nous supposerons que l'on a construit la conique qui forme le contour apparent de cette surface par rapport à un plan quelconque, que l'on prend pour plan de projection.

Soient AM la projection de la génératrice (Jig. 35 1), M le point où elle est rencontrée par la courbe d'ombre, S la projection du point lumineux et il le contour apparent de l'hyperboloïde oscillateur le long de la génératrice AM : la seconde asymptote de l'indicatrice au point M est la droite MB tangente à il. Le rayon SM et la tangente à la courbe d'ombre sont donc conjugués harmoniques des droites MA et MB. Nous traçons la parallèle PN à MA, et nous portons au delà de N une longueur NG égale au segment PN : la tangente cherchée est MD.

Si le plan de projection était perpendiculaire à une génératrice du cône asymptote de l'hyperboloïde, et par suite à une génératrice de chaque système de cette surface, les secondes asymptotes des indicatrices divergeraient d'un même point, et leur détermination serait plus facile encore que dans le cas où le contour apparent de l'hyperboloïde est une conique.

885. Quand le point M s'éloigne à l'infini sur la génératrice, la construction précédente se trouve en défaut, et il faut recourir à une autre propriété des conjuguées harmoniques pour déterminer l'asymptote à la courbe d'ombre (•).

SV étant une sécante quelconque passant par le point S (Jig. 35 1), on a (art. 601)

bel'' ad~~ '* Si Ton rapporte tous les segments à une origine commune k placée où l'on

( l ) Nous no considérons dans les courbes d'ombre que les branches infinies do la promicre espèce (art. 638).