CHAPITRE III. - THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES. f

voudra sur la sécante, l'équation deviendra

kS — kb . kS — ka kd—kb:kd—ka'-~ lm

Lorsque le point k est le milieu du segment abt on a

kb = — ka.

et l'équation devient

kS -H ka . kS — ka kd-h ka ' kd — ka

En développant et en réduisant, on obtient

ka = AS x kd.

Quand le point M s'éloigne à l'infini [fig. 35^), la seconde asymptote de l'indicatrice est la droite BM parallèle à AM et tangente k ii. Si du point S on trace une sécante SV, le point d où passe l'asymptote à la courbe d'ombre sera déterminé par l'équation précédente, qui conduit à une construction facile.

Quand le point S est situé entre les droites AM et BM et à égales distances de ces lignes, kS est nul et la formule donne pour kd une valeur infinie. La branche considérée de la courbe d'ombre est par conséquent parabolique.

884. Quand la surface gauche a un plan directeur, les secondes asymptotes des indicatrices aux divers points d'une génératrice forment un paraboloïde, et le contour apparent de cette surface est une parabole. Cette circonstance ne modifie pas la construction pour les tangentes à une courbe d'ombre aux points situés à distance finie, mais la construction des asymptotes à la courbe d'ombre devient plus facile, parce que la tangente MB parallèle à la génératrice MA (fig. 352) disparaît à l'infini.

Lorsque le point b s'éloigne, le rapport de bS à bd approche de l'unité, et, quand le point b est à l'infini, la première équation de l'article 883 se réduit à

aS = — ad.

Cette équation nous montre que, lorsqu'un cane est circonscrit à un cono'ide, son sommet et une asymptote de la courbe de contact sont situés de part et d'autre et à égales distances de la génératrice, dans le plan qui est tangent à l'infini.

Pour quelques positions exceptionnelles d'un paraboloïde, les projections des génératrices n'ont pas une parabole pour enveloppe ; mais, afin d'éviter une discussion minutieuse etpeu importante, nous remarquerons qu'on peuttoujours prendre un plan de projection disposé de manière que le contour apparent de cette surface

soit une parabole, et que cela suffit pour que le théorème qui précède soit démontré d'une manière générale.

885. La tangente à la courbe d'ombre et le rayon de lumière sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice, et la génératrice de la surface en est une asymptote. Il résulte de là que la tangente se confond avec la génératrice en un autre point qu'aux sommets (art. 880), seulement quand le rayon coïncide avec elle; la génératrice fait alors partie de la courbe d'ombre et est sa propre tangente. On peut étendre ce raisonnement aux asymptotes. Les génératrices ne sont donc tangentes ou asymptotes aux courbes d'ombre qu'aux sommets de la surface.

886. Supposons maintenant que les rayons de lumière soient parallèles à une droite R dont la direction est différente de celle de la génératrice AM (fig 353) : si le point M appartient à la courbe d'ombre, la tangente Mrfsera telle qu'en traçant une sécante quelconque UV, le rayon de lumière M* et la tangente MB à Q, on aura

fo . bd as ad

Quand le point M s'éloigne à l'infini, le point $ va également à l'infini, le rapport -- est égal à l'unité, et l'on a

as D

bîdl = — atdt;

par conséquent, quand une surface gauche est éclairée par des rayons parallèles, l' asymptote à une branche infinie de la courbe d'ombre est dans le plan tangent à l'infini, et à égales distances de la génératrice de la surface gauche et de celle des génératrices de rhyperboloïde oscu/ateur qui est parallèle à cette droite.

887. Quand les rayons de lumière sont parallèles à une génératrice G, cette droite fait partie de la courbe d'ombre. Le plan tangent au point de la génératrice voisine situé à l'infini est parallèle à G (art. 615), et par suite aux rayons de lumière. Le point situé à l'infini sur la génératrice voisine de G appartient donc à la courbe d'ombre; en d'autres termes, la courbe d'ombre proprement dite a une branche qui rencontre la génératrice G à l'infini.

Pour reconnaître quelle est l'asymptote, nous remarquerons que si le point M est un point de contact pour des rayons parallèles àMB(yfg\ 353), cette droite est tangente à la courbe d'ombre. Lorsque le point M s'éloigne à l'infini sur MA, elle devient asymptote et prend la position B< bt ; les rayons sont alors parallèles a MA.

Il résulte de là que, quand une génératrice G est parallèle aux rayons de lumière, la courbe d'ombre a une branche infinie dont l'asymptote est la génératrice parallèle à G dans rhyperboloïde oscillateur le long de celle droite.