CHAPITRE III. - THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES

Parties réelles et parties virtuelles des courbes d'ombre propre (').

888. Définitions. — Les surfaces, telles qu'on les considère dans les problèmes d'application, recouvrent des corps opaques, et la courbe de contact d'un cône circonscrit ne forme ligne d'ombre propre, lorsqu'un point lumineux est au sommet, que quand les génératrices rectilignes sont extérieures. Si, près du point de tangence, les génératrices sont dans l'intérieur du corps, la courbe de contact n'a aucune importance.

La fig. 368 représente une section faite dans le corps éclairé par un plan contenant le point lumineux S. On peut lui mener de ce point six tangentes, les points m, r et q appartiennent à la ligne de séparation d'ombre et de lumière; nous dirons que ce sont des points réels de la ligne d'ombre propre, tandis que nous appellerons virtuels les points p et t situés sur des tangentes géométriques qui n'existent pas comme rayons de lumière. La tangente Sn traverse le corps avant de le loucher extérieurement en n. Ce point n'est donc pas sur la séparatrice; nous le considérerons cependant comme réel : il est dans la position de tout autre point réel, tel que m ou r, devant lequel on placerait un écran. Le point p ne peut appartenir à la ligne d'ombre, quelque part que l'on suppose le point lumineux sur la tangente pS; le point n, au contraire, deviendrait utile, dans le cas où le point lumineux serait «ntre nt et n, ou au delà de n en S,. *

Si le corps opaque se trouvait de l'autre côté de la surface, comme il est représenté sur \afig. 367, les points réels deviendraient virtuels, et réciproquement. Nous avons déjà signalé cette circonstance à l'article 335.

889. Les points réels et les points virtuels formentquelquefois des courbes séparées; ainsi dans le cas de h fig. 366, qui représente une surface de révolution éclairée par un point lumineux placé sur son axe, on trouve une ligne d'ombre virtuelle suivant le parallèle/»// et deux lignes d'ombre réelles suivant les parallèles mm et nn'\ la première seule est utile.

Le plussouventles points réelsetles points virtuels forme'ntdespartiesdistinctes d'une même courbe. Il est alors important de déterminer la position des points limites.

Une génératrice du cône circonscrit est extérieure ou intérieure près de son

(*) Nous avons déjà examiné cette question dans le VI* Livre do notre Traité de Perspective (\n édition), mais sans lui donner tout le développement qu'elle comporte. [Jules de la Gournorie a supprimé cette question dans la seconde édition de son Traité de Perspective. (E. L.)]

~2 MVRK VIII. - COUUBURB DES Sl'RFACKS.

point de contact, suivant que ce point est réel ou virtuel. Au point limite, la génératrice passant de l'extérieur à l'intérieur du corps a un contact du second ordre avec la surface.

Cette circonstance ne peut pas se présenter sur les surfaces convexes, parce qu'elles n'ont qu'un contact du premier ordre avec leurs tangentes. La courbe d'ombre d'une surface de ce genre est donc entièrement réelle ou entièrement virtuelle. Elle est réelle pour une sphère en relief, et virtuelle pour une sphère creuse. Les droites parallèles aux rayons de lumière et tangentes à la surface supérieure de la niche représentée sur \*fig* 206 sont noyées dans la maçonnerie près de leur point de contact, et nous n'avons eu a considérer que des ombres portées (art. 541).

Les surfaces à courbures opposées ont, en chaque point, un contact du second ordre avec deux de leurs tangentes, qui sont les asymptotes de l'indicatrice (art. 79(>). Leurs courbes d'ombre peuvent donc être composées d'arcs réels et d'arcs virtuels : aux points limites la génératrice du cône circonscrit, c'est-à-dire le rayon de lumière, est une des deux asymptotes de l'indicatrice.

890. En tout point de la courbe d'ombre, la tangente a cette ligne et le rayon de lumière sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice : or l'asymptote d'une hyperbole est son propre diamètre conjugué; donc, aux points limites, le rayon de lumière est tangent a la ligne d'ombre.

Réciproquement, si le rayon de lumière est tangent à la ligne d'ombre, il se confond avec son diamètre conjugué; il est donc une asymptote de l'indicatrice, et par suite il a un contact du second ordre avec la surface, et il se trouve àl* liftiite des tangentes extérieures et des tangentes intérieures. Un arc réel de la ligne d'ombre s'arrête au point de contact considéré.

Ces résultats sont soumis à certaines restrictions. Si le rayon de lumière, qui*?5* asymptote de l'indicatrice de son point de contact, avait avec la surface un conl»c' du troisième ordre, il serait tout entier <l'un même coté, en dehors du corps, p3f exemple, et il ne formerait plus limite; la courbe serait réelle d'un côté comme de l'autre. On peut supposer qu'elle avait primitivement un arc virtuel, et que te point lumineux s'est transporté dans l'espace, de manière à réduire graduellement cet arc et à l'anéantir.

Nous ne reviendrons pas sur ces cas d'exception. Toutes les questions de Géométrie en présentent d'analogues.

891. La courbe de contact d'un cône circonscrit peut être considérée comm^ directrice de cette surface; mais nous savons qu'un cône a un rebroussement lorsque la génératrice est tangente à la directrice (art. 217). Nous voyons donc que le cône circonscrit à une surface a un rebroussement le long de chacune desl génératrices qui sont asymptotes de V indicatrice de leur point de contact. Si un] point lumineux est au sommet du cône, les deux parties de cette surface qui sel