CHAPITRE III. - THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES

réunissent à une génératrice de rebroussement correspondent, l'une à un arc réel de la courbe d'ombre, l'autre à un arc virtuel.

Quand un cône circonscrit à une surface a un rebroussement le long d'une génératrice, la courbe de contact ne peut passer sans rebroussement d'une partie a l'autre qu'en touchant la génératrice qui forme arête, et celle-ci, se trouvant tangente a la courbe de contact, est une asymptote de l'indicatrice; elle a donc un contact du second ordre avec la surface, et par suite elle doit être à In limite des tangentes extérieures et des tangentes intérieures.

Nous avons supposé que la courbe de contact n'avait pas de rebroussement ; si elle en avait un, ses arcs, situés de part et d'autre du point de rebroussement, seraient tous les deux réels ou virtuels. Cette circonstance peut se présenter sur les surfaces qui ont des arêtes de rebroussement.

892. Quand on a déterminé une projection d'une ligne d'ombre, les tangentes à cette courbe menées par la projection du point lumineux font connaître les points limites. Il ne peut y avoir d'exception que quand le plan tangent est perpendiculaire au plan de projection, parce qu'alors la tangente a la courbe d'ombre et le rayon de lumière, même lorsqu'ils sont distincts dans l'espace, se confondent on projection.

Sur quelques surfaces on peut déterminer les points limites descourbes d'ombre par des méthodes particulières et plus simples.

Quand on construit une courbe d'ombre par la méthode des projections obliques ( art. 371), les points limites sont indiqués par des points de rebroussement de la trace du cône d'ombre. Alors, en prenant les ombres portées par les génératrices considérées, on trouve que Tune de ces ombres coupe celle qui la précède et celle qui la suit d'un même côté du point où elle est touchée par l'enveloppe.

893. Étude des lignes d'ombre propre du tore. — Nous nous sommes occupé des ombres du tore à l'article 343, mais nous avons seulement considéré la partie ou nappe convexe de cette surface; nous allons maintenant rechercher les particularités que présente la ligne d'ombre propre sur la nappe a courbures opposées.

Nous supposons le point lumineux (S, S') dans le plan méridien de front {Jig. 358). Ce plan divise le tore en deux parties sur lesquelles les lignes d'ombre sont symétriques. Nous n'avons représenté que l'une des moitiés.

On détermine par les procédés de l'article 551 les courbes d'ombre (Bi, B'&') ot[AGuga9 A'GVg-'a'); la première est sur la nappe convexe, la seconde sur celle dont les courbures sont opposées. Nous avons expliqué à l'article 878 comment on peut construire les tangentes à ces lignes. Si la méridienne était formée d'arcs de courbes différentes ayant un contact du premier ordre seulement, la ligne d'ombre serait brisée à chaque parallèle de raccordement. On trouve ainsi que la ligne d'ombre d'un cylindre terminé par une demi-sphère d'un diamètre