CHAPITRE III. - TIIEORKME DES TANGENTES CONJUGUEES

(G, G) et {g.g') doivent être tangents à la courbe sur chacune des projections. Ceux qui vont aux points (u9 iï) et (U, U') sont tangents à la courbe d'ombre sur la projection horizontale, mais cela tient à ce que les plans tangents au tore en ces points sont verticaux (art. 892).

895. La section du tore par un plan tangent en un point du cercle de gorge O'D' a deux axes qui se croisent au point de contact (Jig. 357); l'un est vertical et l'autre horizontal. \\ résulte de là que chacune des branches qui passent au point double y a une inflexion ('), et par suite que les asymptotes de l'indicatrice sont entièrement extérieures à la surface (art. 797). Lorsque le point lumineux est sur une de ces droites, les points limites (G, G) et (g, g'), qui sont ordinairement l'un au-dessus, l'autre au-dessous du plan J'Of , sont réunis dans ce plan, et la partie virtuelle comprise entre eux a une longueur nulle.

[1 résulte de ces considérations que, quand le point S' s'élève, les points K' et k se réunissent sur la verticale du point D' en un point T où la tangente à la courbe d'erreur est horizontale. La courbe d'ombre propre a deux points limites ou n'en a pas, suivant que S' est au-dessous ou au-dessus de T.

La construction que nous avons donnée pour les points de la courbe d'erreur n'est pas immédiatement applicable au point T; mais, en rendant le plan tangent au tore au point D' parallèle à l'un des plans de projection, on peut y placer sans difficulté les asymptotes de l'indicatrice, et déterminer leur intersection avec celles des génératrices du cylindre OS qui sont projetées sur D'T. Nous donnerons plus loin une construction analogue à celle que nous venons d'indiquer (art. 899).

La courbe d'erreur est composée de deux parties symétriques par rapport à l'axe O'DT : nous n'avons représenté que l'une d'elles. Il n'entre pas dans notre cadre de discuter les différentes formes de cette courbe, ni d'examiner les particularités que présente la surface gauche, lieu des asymptotes des indicatrices du tore aux différents points de la méridienne.

896. La construction que nous venons d'expliquer permet de déterminer les points limites des arcs réels de la courbe d'ombre propre de toute surface de révolution dont on connaît la méridienne. Si cette ligne est une courbe graphique, on déterminera ses rayons de courbure aux divers points considérés par la méthode de l'article 105.

On peut prendre pour courbe d'erreur l'intersection de la surface gauche, lieu des asymptotes des indicatrices, avec le plan horizontal du point (S, S'); les points de cette ligne, qui se trouvent à la même distance de l'axe que le point S, sont précisément (K, K') et (£, k).

897. Le cône circonscrit a des rehaussements le long des génératrices

( l ) Nous avons déjà démontré à l'article 876 l'existence de cette double inflexion.

(SG, S'G') et (S g, S' g). Pour les rendre apparents, nous avons construit la trace VEep de ce cône sur le plan horizontal XY.

Nous savons que le plan de rehaussement du cône le long de la génératrice (SG, S' G') est le plan oscillateur de la directrice (AGw, A'G'i*') au point (G, G') (art. 216). Ce plan touche le tore au point (G, G'), car il appartient à la série des plans tangents communs au tore et au cône circonscrit. La tangente EH au rebroussemcnt E est donc la trace, sur le plan XY, du plan qui touche le tore au point (G, G), et par suite elle est perpendiculaire à la trace OK du plan méridien de ce point. La tangente eh est perpendiculaire àOi,

898. Détermination des points limites de la courbe d'ombre propre d'une surface de révolution éclairée par des rayons parallèles. — Quand les rayons sont parallèles, les constructions que nous avons expliquées a l'article 894 ne sont plus applicables, parce que la courbe d'erreur s'éloigne à l'infini. Alors, pour déterminer les points de la méridienne principale où une des asymptotes de l'indicatrice a la même inclinaison que les rayons de lumière, on construit le cône directeur de la surface gauche lieu de ces asymptotes; on cherche quelles sont les génératrices du cône qui ont la môme inclinaison que les rayons, et ensuite quelles sont les génératrices de la surface gauche qui leur correspondent.

Considérons le tore engendré par la révolution du cercle PQ autour de l'axe (0, O'Z) {fig. 35()J, et supposons-le éclairé par des rayons parallèles à là droite R située dans le plan vertical : nous construisons les droites (MV, M'V), (MV|f M'V), asymptotes de l'indicatrice d'un point (M, M') de la méridienne; par un point L choisi arbitrairement sur l'axe pour être le sommet du cône directeur, nous leur menons des parallèles (OB, LB'), (OB,, LB'), et nous déterminons les traces B et B, de ces génératrices du cône.

Au point (M, m') les asymptotes de l'indicatrice sont (MV, /wV)ct(MV,,/wV) : les génératrices du cône qui leur sont parallèles ont leurs traces aux points b et b% symétriques de B et de B, par rapport à la droite OF; cette ligne est donc un axe de la trace du cône. La droite OH en est aussi un axe.

Quand le point M' arrive en Psur le parallèle supérieur, les deux asymptotes de l'indicatrice se confondent en une seule droite perpendiculaire au plan vertical; il en est de même quand le point M' se trouve en Q. 11 résulte de là que chaque partie de la trace s'étend à l'infini, des deux côtés du point F et des deux côtés du point F,.

899. Les rayons de courbure au point E sont El et EO'. Si l'on prend le point 0' pour centre de Thyperboloïde osculateur, cette surface sera de révolution autour de la verticale O'Z, et son demi-axe non transverse aura la longueur EU de la moyenne proportionnelle entre El et EO'. La droite OU est donc la projection d'une génératrice de Thyperboloïde parallèle au plan vertical; on peut la regarder comme une asymptote de l'indicatrice du point E, qui a tourné de