EO

cot7>1D,

en appelant 7 l'angle que les rayons de lumière font avec le plan horizontal.

EU étant une moyenne proportionnelle entre EO' et IE, l'équation précédente revient à

tanS V<(TË-

901. Courbe d'ombre portée. — Nous allons maintenant étudier la courbe d'ombre portée par une surface sur elle-même; cette ligne est l'intersection de la surface considérée avec le cône circonscrit qui a son sommet au point lumineux.

Revenons à la fig. 368, qui représente une section d'un corps par un

(l) Dunosmo a fait connaître un procédé graphique pour déterminer les points où la courbe do contact d'un cylindre circonscrit à un tore a pour tangonto une génératrico du cylindre (Comptes, rendus, a" semestre 1857); mais la construction qu'il indique nous paraît moins facile que colle que nous donnons. On trouve cotte dornière dans le Traité de Stéréotomie do Leroy.

plan contenant le point lumineux S. Le rayon Sm touche la surface au point m, et si on le considère comme une droite géométrique indéfinie, il la coupe aux points m, etm2. L arc mmK est dans l'ombre et Tare mK r est éclairé; m{ est donc un point réel de la courbe d'ombre portée, comme m est un point réel de la courbe d'ombre propre.

Sur le rayon S/>, les points p et y?, sont des points virtuels des courbes d'ombre propre et d'ombre portée. La courbe d'ombre portée se compose ainsi d'arcs réels et d'arcs virtuels. Un point m de la courbe de contact est réel, comme point d'ombre, lorsqu'il se trouve en dehors des points de section mt et m2, et alors le premier de ces deux points est réel sur la courbe d'ombre portée. Sur le rayon S/?, le point de contact/? est situé entre les deux points de section pK et/>2; il est virtuel, et le point/?, de la courbe d'ombre portée est également virtuel. Les seconds points de section, tels que m2 et p2y n'ont jamais d'importance, bien qu'ils appartiennent à la courbe géométrique de l'ombre portée.

Puisqu'un point de contact devient virtuel lorsqu'il passe entre les deux points de section, il est nécessairement réuni à l'un d'eux quand il se trouve à un point limite, et par suite le rayon dé lumière a dans ce cas un contact du second ordre avec la surface, ce que nous avons déjà trouvé par des considérations un peu différentes (art. 889). La ligne d'ombre portée devient virtuelle au même moment. Il résulte de là que les arcs réels des courbes d'ombre propre et d' ombre portée ont les mêmes points limites.

902. Considérons la courbe A d'intersection d'une surface à courbures opposées par son plan tangent en m (Jig. 35;>). Si un point lumineux S' est dans ce plan, le point m appartiendra à la courbe d'ombre propre, et l'intersection //if du rayon SV/i, et de la ligne A sera un point de la courbe d'ombre portée. Le plan tangent au cône d'ombre le long de la génératrice S'm touche la surface en m, et par suite la courbe d'ombre portée et la courbe A ont l'une et l'autre pour tangente en mx l'intersection des plans tangents aux points m et //?, ; elles sont donc tangentes.

Si le point S' se meut dans le plan, lorsqu'il se trouvera en un point S sur l'une des asymptotes de l'indicatrice du point m, le rayon Sm sera tangent à la courbe A (art. 797); le point mt se sera donc réuni au point m, et la courbe d'ombre portée se sera transportée en se modifiant de manière à passer par ce point; elle y sera tangente à la branche mmK de la ligne A, et par suite à la droite mS; cette droite, étant une asymptote de l'indicatrice et passant au point lumineux, sera tangente à la courbe d'ombre propre, et le point m sera un point limite. Nous voyons ainsi que les courbes d'ombre propre et d'ombre portée se renronfrent tangentiellement aux points limites.

905. Étude des lignes d'ombre portée par un tore sur lui-même, et considérations