CHAPITRE III. - THEOREME DES TANGENTES CONJUGUEES. «J

générales ('). — Si Ton coupe le tore représenté sur l&j/ig. 358 par une série de plans verticaux contenant le point lumineux (S, S'), on pourra tracer dans chaque section les rayons tangents, déterminer les points où ils coupent la surface, et construire ainsi l'intersection du tore avec le cône d'ombre. On trouve la ligne

{GCFgcfG, G'C'F'^V/G');

elle rencontre tangentiellement la courbe d'ombre propre aux points limites (G, G') et (g, g*), et elle a des rebroussements aux points (F, F') et (/,/*) situés sur les rayons des points limites. Cette circonstance, que nous ne nous sommes pas arrêté à signaler dans les articles précédents, résulte de la forme même du cône (art. 891). Ainsi, lorsque le point de section mK(fig. 368) se réunit au point de contact m pour former un point, limite, le point m2 devient point de rehaussement de la courbe géométrique de l'ombre portée.

On détermine la tangente au rebroussement (F, F') en prenant l'intersection du plan tangent au tore en ce point, avec le plan de rebroussement du cône qui est le plan tangent au point (G, G') (art. 897). Nous avons fait la construction en prenant pour ligne de terre une droite xy plus rapprochée du tore que XY, afin que tous les tracés fussent dans le cadre de l'épure. La tangente au méridien principal au point F',, situé sur le même parallèle que (F, F'), est F', a', ; on trouve d'après cela que la trace horizontale du plan tangent au tore est a/3. La trace du plan de rebroussement pour le cône est la droite E,/3 parallèle à EH. La tangente au rebroussement pour le point (F, F') est donc la droite (F/3, F'/3'). Le point (/,/*) étant peu éloigné du parallèle supérieur, le plan qui y est tangent au tore fait un angle très petit avec le plan horizontal, et par suite la tangente au rebroussement de la projection horizontale est à peu près parallèle à eh. Nous ne l'avons pas déterminée d'une manière précise.

Nous avons tracé à une échelle quadruple la partie de la projection verticale de l'intersection voisine du point F (Jig. 358 6w),afiri d'en bien faire comprendre la forme. Au point (f9f) le plan tangent est à peu près perpendiculaire au plan vertical, et par suite il aurait fallu amplifier considérablement la partie de la figure voisine du point/' pour représenter avec netteté le rebroussement qui s'y trouve.

90i. Une génératrice du cône, tangente au tore en un point pris sur l'arc AG et peu éloigné de G (2), va couper le tore en deux points dont le premier appar-

( ' ) Nous rappelons qu'il ne s'agit ici que do la discussion des lignes d'ombre considérées comme formées de parties réelles et de parties virtuelles. Nous avons étudié dans le Livre V toutes les questions qui se rattachent à la construction do ces lignes.

(') Nos notations se rapportent seulement à la projection horizontale, mais les raisonnements s'appliquent aux lignes et aux points considérés dans l'espace.

8o LIVRE VIII. - COUKBURE DES SURFACES.

tient à la partie réelle de la courbe d'ombre portée. Si le point de tangence s'avance vers le point A, les points de section se rapprochent et arrivent k se confondre en un certain point C qui se trouve nécessairement sur la courbe de contact ag, car la génératrice SC y est tangente à la ligne d'ombre portée, et par suite à la surface. Cette génératrice a d'ailleurs un premier point de contacte sur l'arc AG, elle est donc l'intersection de deux parties distinctes du cône circonscrit; et l'on peut déterminer sa position avec assez de précision en construisant, comme nous l'avons fait, la trace du cône sur un plan XY, et joignant le point double Q de cette courbe au point lumineux (l).

On reconnaît par les mêmes raisonnements, et en considérant les génératrices tangentes aux différents points de l'arc Cg, que le rayon SQ, bitangent au tore, doit toucher la courbe d'ombre portée à son premier point de contact c, comme au second C.

La ligne séparatrice de la partie éclairée et de la partie obscure sur la nappe intérieure du tore se compose de l'arc (AG, A' G') de la courbe d'ombre propre, de l'arc (GC, G'C) de la courbe d'ombre portée, et enfin de l'arc (Ca, C'a ) de la courbe d'ombre propre.

905. On voit que les courbes d'ombre propre et d'ombre portée peuvent se rencontrer de deux manières différentes, d'abord lorsqu'un point de section m{ se réunit au point de contact m (Jig. 368), ensuite lorsque les deux points de section m{ et m% se confondent. Dans ce dernier cas, qui est celui des points C aie (Jig. 358), les deux courbes sont tangentes à deux diamètres conjugués de l'indicatrice de leur point de rencontre, car la courbe d'ombre portée a pour tangente le rayon de lumière, et cette droite est conjuguée à la tangente à la courbe d'ombre propre (2) (art. 877). Il résulte de là que ces lignes ne peuvent

( * ) On peut déterminer la position du rayon bitangent SQ par les constructions faciles auxquelles conduisent les deux remarques suivantes :

i° Pour que la distance de deux des points d'intersection du tore et d'une transversale rectiligne soit égale à la distance des deux autres, il faut et il suffit que cette transversale soit perpendiculaire à la droite qui joint sa trace sur le plan horizontal l' J' au centre (0, 0) de la surface.

On conclut de là que le cône, lieu des droites menées par un point fixe (S, S'), de manière que la sommo de deux des segments interceptés entre ce point et le tore, soit égale à la somme des deux autres, a pour trace sur le plan horizontal V J' le cercle décrit sur OS comme diamètre.

a° Le lieu des droites que Ton peut mener par le point (S. S'), de manière que le produit do deux des segments interceptés entre ce point et le tore soit égal au rectangle des deux autres, consiste en deux plans perpendiculaires au plan méridien OS. Pour obtenir leurs traces sur ce plan, il suffît do résoudre le problème suivant qui n'offre pas de difficulté : par un point pris dans le plan de deux cercles, mener une transversale telle que le rapport des segments déterminés par l'un des cercles suit égal au rapport dos segments déterminés par l'autre, ces segments étant mesurés à partir du point donné. (Moutard. )

( i) Nous avons fait cette observation avec M. Mannheim.