CHAPITRE III. - THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES. 8l

se rencontrer tangentiellement qu'à un point limite, car elles ne sauraient avoir d'autre tangente commune qu'une asymptote de l'indicatrice.

Les observations que nous venons de présenter peuvent être faites quel que soit le corps qui porte ombre, et par conséquent nous avons le théorème suivant :

Quand sur une surface la courbe d'ombre propre et la courbe d' ombre portée par une autre surface quelconque se rencontrent, ces lignes sont tangentes à deux diamètres conjugués de l'indicatrice du point commun.

906. Si le point S' s'abaisse, les points a et C se rapprochent l'un de l'autre. Quand le point S' sera sur la tangente alterne commune des deux cercles A'B' et a'b\ le point C et celui qui lui est symétrique sur la partie non représentée du tore seront confondus avec le ppinta; les points P, p et Q seront réunis; les deux parties du cône d'ombre se toucheront le long de la génératrice bitangente.

La partie dont la trace est EP touchera le cône au point a, et la courbe d'ombre portée aura un point double au point de contact a. Le point A sera un second point double de cette courbe. On pourra déterminer les tangentes à ces points par la méthode de l'article 865 (').

Si le point S' continue à s'abaisser, aucun rayon ne passera dans l'intérieur du tore, et la séparatrice sera composée seulement d'un arc de la ligne d'ombre propre et d'un arc de la ligne d'ombre portée.

907. Cas où il est nécessaire d'avoir égard aux dimensions des corps lumineuv. — Jusqu'à présent nous avons supposé que les dimensions du corps lumineux pouvaient être négligées; lorsqu'il est nécessaire d'en tenir compte, la surface d'ombre devient une développable circonscrite, mais, le théorème des tangentes conjuguées étant applicable dans ce cas, comme dans celui du cône circonscrit, on est conduit à des conséquences analogues à celles que nous avons exposées

(») On remplacera le tore par un hyperboloïdo osculateur, et le cône par un cylindre osculatour. On obtiendra sans difficulté l'hyporboloïde (art. 869); s'il s'agit du point a, le rayon de la section droite du cylindre sera celui do la seconde section principale du tore en A. 11 faut remarquer, en effet, que la génératrice Sa appartient à la partie du cône qui est circonscrite au tore le long de la ligne AG. Comme d'ailleurs cette ligne rencontre normalement, au point A, le méridien DB du tore et la génératrice Sa du cône, elle est tangente aux secondes sections principales des doux surfaces; ces sections sont donc dans le plan normal qui contient la tangente à la courbe do coatact AG, et par suite leurs rayons de courbure sont égaux, conformément au théorème suivant de Ch. Dupin :

Quand deux surfaces sont tangentes l'une à l'autre le long d'une courbe, leurs sections par un plan tangent à cette courbe ont un contact du troisième ordre.

Pour prouver ce théorème, supposons que l'on fasse passer un plan sécant par deux points M et N de la ligne do contact A : les sections des surfaces seront tangentes en ces points. Si maintenant on transporte le plan de manière à le rendre tangent à la courbe A, les points M et N se confondront, et les sections auront quatre points communs réunis en un seul, ou un contact du troisième ordre.

Si le plan était tangent aux surfaces en un point M de la ligne de contact, le point M serait double dans les deux sections, et ces courbes, bien qu'ayant quatre points réunis en un seul, ne seraient plus tangentes.

dans les articles précédents. Toutefois la complication est un peu plus grande, parce qu'il faut avoir égard aux arcs virtuels de la courbe de contact sur le corps lumineux. Ainsi, lorsqu'une génératrice de la développable se confond avec une des asymptotes de l'indicatrice de son point de contact avec la surface éclairée, ce point n'est un point limite des courbes d'ombre que si la génératrice est extérieure au corps lumineux près du point où elle le touche. Cette observation n'a du reste aucune importance dans la pratique, car les surfaces lumineuses ne sont pas à courbures opposées.

Extension du théorème des tangentes conjuguées.

908. Le théorème des tangentes conjuguées ne donne aucune indication sur la tangente à la courbe d'ombre propre, quand la surface est osculée par un plan au point considéra. Nous allons étudier ce cas à l'aide du Calcul différentiel.

Considérons la surface

l'équation de son plan tangent en un point est

.t' 9 y', z' sont les coordonnées variables; x, y, z les coordonnées du point de contact, pi />, <f les dérivées partielles de la fonction z. Si le plan tangent contient un point fixe (a, 43, y), on aura

Les équations (i) et (a) déterminent la ligne Vie contact de la surface considérée avec le cône circonscrit dont le sommet est au point lixe.

Lu diflerentiant l'équation (2), on trouve, pour déterminer l'inclinaison sur l'axe des abscisses de la tangente a la projection de la courbe de contact sur le plan des xy9 l'équation

Quand au point considéré la surface est osculée par un plan, les dérivées /-, s et t sont nulles, et ^ se présente sous une forme indéterminée. Pour obtenir sa valeur, il faut

différentier l'équation (3), en y regardant y comme une fonction de x et ^- comme une

ax quantité constante. On trouve

dx)

-h 2 [ta(x — a) -f- w(y — ?) -h s] -f -i- [ u(x - a) 4- m (y -?)-+- r] - o.