Ou a identiquement

dz i= p dx 4- q dy 4- { ( r dx* 4- 25 dx dy 4- t dy9)

H 5 ( u dx* 4- 3 1// ckr* rfj 4- 3 w dx dy1 4- v dy* ) 4- ... :

r, s et t sont nulles au point considéré; pet q seront également nulles si nous supposons le plan des xy parallèle au plan osculateur. Négligeant alors les infiniment petits des ordres supérieurs au troisième, on a

dz = — ^ ( u dx* +3w dx1 dy -\-Zwdx dy1 ■+- v dy* ).

dx et dy sont les coordonnées variables de la courbe d'intersection de la surface par un plan parallèle au plan osculateur, et distant de ce plan de la longueur infiniment petite dz. Celte courbe, qui est du troisième ordre, peut être considérée comme remplaçant l'indicatrice.

(] étant une grandeur finie quelconque, l'équation

(5) ux* 4- 3w/.r; v-f- 3wj?v*-h vy*=zC

représentera une courbe homolhétiquc de l'indicatrice du troisième ordre. Quand C est nulle, elle donne trois droites que l'on peut considérer comme formant une indicatrice. Nous désignerons, pour abréger, l'équation (5) par

910. Supposons que l'on trace dans le plan de la courbe (6) une série de droites parallèles, et qu'on prenne sur chacune d'elles les points centraux de ses intersections avec la

courbe, c'est-à-dire les points tels que le produit de leurs distances aux points où la droite coupe la courbe soit un maximum en grandeur absolue, le lieu de ces points sera une courbe que Ton pourra considérer comme le diamètre de la proposée par rapport à la direction des sécantes (l). m étant le coefficient angulaire de cette direction, l'équation du diamètre est

dF dF

dx dy *

ou bien, en prenant les dérivées dans l'équation (5),

{Zux1^- 6wxy -+- 3«'js) -+- m(3wxi^-6wxy -f- 3^*) = o. Cette équation peut être mise sous la forme

(i^-H vm) (*-)-*- i(ui-r ivm)' — h (u 4- tant) = o;

elle représente deux droites, car elle est homogène et du second ordre. En la rapprochant de l'équation (4), on voit que ces deux droites sont respectivement tangentes aux deux branches de la courbe d'ombre.

Quand une surface est osculée par un plan en un point, si elle est éclairée par un point lumineux situé dans ce plan, le point d'osculation appartient deux fois à la courbe d'ombre, et les deux branches sont tangentes à deux droites qui forment le diamètre de V indicatrice du troisième ordre par rapport à la direction du rayon de lumière.