CHAPITRE IV. - LIGNES RELATIVES AUX COURBURES

lignes de courbure de l'une des séries, on obtient celles de l'autre série en traçant des courbes qui les coupent toutes à angle droit, c'est-à-dire leurs trajectoires orthogonales.

Sur une surface de révolution, les lignes de courbure sont les méridiens et les parallèles, car les normales aux différents points d'un méridien sont dans le plan de cette courbe, et les normales aux divers points d'un parallèle forment un cône.

Quand l'axe perce la surface, tous les méridiens passent au point de rencontre, et par exception il y a en ce point une infinité de lignes de courbure. Si l'axe est normal à la méridienne, toutes les sections normales sont identiques, et le point est un ombilic (art. 793). Si la méridienne coupe obliquement l'axe, la surface a une infinité de plans tangents au point d'intersection de ces lignes; chaque méridien est une section principale par rapport à l'un d'eux; l'autre section principale est le parallèle dont le rayon est nul.

Les normales à la sphère se rencontrent toutes au centre, et par suite une courbe quelconque tracée sur cette surface peut être considérée comme une ligne de courbure. Chaque point d'une sphère est un ombilic, et tout grand cercle peut être regardé comme une section principale à l'un quelconque de ses points.

912. Les génératrices rectilignes d'une développable en sont des lignes de courbure, car les normales a la surface aux différents points de l'une de ces droites forment un plan. Les lignes de courbure de la seconde série sont les trajectoires orthogonales des génératrices ou les développantes de l'arête de rebroussement (art. 436, 441). Sur un cylindre ces lignes sont les sections droites, et sur un cône les sections par des sphères ayant leur centre au sommet.

913. Considérons dans un plan une courbe AB et une droite G (fig. 36i) : si le plan se meut en restant normal à un cylindre directeur, de manière que la droite G occupe successivement la position des diverses génératrices rectilignes de cette surface, et que chacun de ses points en décrive une section droite, la courbe AB, qui occupe une position invariable par rapport à G, décrira une surface que l'on appelle surface-moulure.

Dans le mouvement, une droite Mm perpendiculaire à G est toujours normale à la section droite décrite par le point m; sa longueur est constante : les courbes décrites par les points M et m ont donc une même développée, et par suite le plan mobile est perpendiculaire sur la tangente a la trajectoire du point M, c'est-à-dire qu'il est normal à la surface-moulure en un point quelconque de la courbe AB. Cette génératrice curviligne forme donc dans ses différentes positions les lignes de courbure de l'une des séries. Les lignes de la seconde série sont les courbes décrites par les différents points de AB.

Une surface-moulure peut être considérée comme l'enveloppe des positions

«l'une surface de révolution dont Taxe se meut sur un cylindre de manière que ses différents points en décrivent des sections droites (l).

Observations pour la détermination des lignes de courbure de quelques surfaces.

914. Lorsque sur une surface enveloppe les caractéristiques sont des lignes de courbure, elles sont aussi lignes de courbure sur les enveloppées, car une enveloppe et l'une quelconque de ses enveloppées ont les mêmes normales aux divers points de la caractéristique correspondante. La proposition réciproque est évidemment vraie; elle donne un moyen de déterminer les lignes de courbure de quelques surfaces, et notamment de celles qui sont enveloppes d'une sphère mobile.

Quand un plan coupe une surface sous une inclinaison constante, l'intersection est une ligne de courbure de la surface, car les droites qui lui sont normales aux divers points de cette courbe sont également inclinées sur le plan; la surface qu'elles forment est donc d'égale pente et par suite développable (art. 545) (2).

Théorème de Ch. Du pin sur les surfaces orthogonales .

915. On parvient quelquefois à déterminer les lignes de courbure par la considération des surfaces orthogonales, c'est-à-dire des surfaces qui se coupent à angle droit sur toute l'étendue de leur intersection.

Considérons trois surfaces orthogonales qui se croisent en un point A (Jig. 36o); soient AX, AY et AZ les tangentes aux lignes suivant lesquelles elles se coupent deux à deux : nous appellerons première surface celle qui est normale à la droite AZ, seconde et troisième surfaces celles qui sont respectivement normales aux droites AY et AX.

Nous prenons sur ces lignes, que nous considérons comme des axes, des points P, N et M à des distances du point A infiniment petites et égales.

Le point M appartient aux deux premières surfaces qui s'y coupent a angle droit, comme à tous les autres points de leur intersection. En désignant par a,, /3,, y, et a2, |32, y2 les angles que les normales à ces surfaces au point M font avec les axes, nous avons

cosa, cosa2 -+- cos/3, cos^-f- cosy, cosy2:= o.

(*) Monge, Application de l'Analyse à la Géométrie, § XVII.

(M Cette proposition est duo à Joachimsthal. Il existe un théorème plus général qui consiste en ce que, quand deux surfaces se coupent sous un angle constant, si leur intersection est une ligne de courbure de Tune d'elles, elle est aussi une ligne de courbure de l'autre.