CHAPITRE IV. — LIGNES RELATIVES AUX COURBURES

Les angles a,, j3,, aa, y2 diffèrent infiniment peu d'un droit, les angles y, et [i2 sont infiniment petits. On a par conséquent, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

(1) cos/3, -+- cosya= o.

En appelant a,, |S'|t y\ et a'3, |S3, y'3 les angles que les normales aux première et troisième surfaces au point N font avec les axes, on trouve

cosy',+ cosa, = 0.

Enfin, en nommant a2, /3"2, ya et a3, |33, y3 les angles que les normales aux seconde et troisième surfaces au point P font avec les axes, on a

(3) cosa"2-+- cos|3* = o.

Les longueurs infiniment petites AM et AN étant égales, le théorème de M. J. Bertrand (art. 783) donne

(4) cos/3, = cosa4,

car les angles jS, et a\ sont complémentaires des angles que les normales à la première surface aux points M et N font respectivement avec les plans normaux et rectangulaires ZAX et ZAY. On trouve de la même manière

(5) cosa"2 = cosy2, cosy3 = cos£3.

Ajoutant les équations (i) et (2) et ayant égard à l'équation (4)» on obtient

2C0sj3, -4- cosy2-+- cosy'3 = o.

Les équations (3) et (5) donnent d'ailleurs

cosy2-f- cosy, = °- On a donc

cos/3, = o.

Nous voyons que la déviation de la normale à la première surface au point M est nulle, et que par suite la droite AX est tangente à une ligne de courbure de cette surface; elle est également tangente à une ligne de courbure de la troisième surface, et chacun des autres axes jouit d'une propriété analogue pour les deux surfaces dont il touche l'intersection.

il résulte immédiatement de là que, si trois séries de surfaces sont telles que les surfaces de chaque série coupent partout à angle droit celles des deux autres séries, chaque courbe d% intersection est à la fois une ligne de courbure pour les deux surfaces de différentes séries auxquelles elle appartient ( ' ).

Surfaces du second ordre orthogonales.

916. Deux surfaces du second ordre ayant les mêmes plans principaux peuvent être représentées par les équations

En désignant les coordonnées variables par X, Y et Z, on trouve que les équations des plans tangents en un point commun (x, y, z) sont

iLx-f-^Y-h^Z^i, .ilX-t--£Y-h4ïZ = i.

Pour que ces plans soient rectangulaires, il faut que l'on ait

m1 m'1 n* n'* Ptpi

Cette équation représente un cône du second ordre, dont les axes sont dirigés selon les axes coordonnés; par conséquent, quand deux surfaces du second ordre ont les mêmes plans principaux , tous les points ou elles se coupent à angle droit appartiennent à un cône de cet ordre qui a les mîmes plans principaux. D'après un théorème connu (art. 249), les courbes d'intersection des trois surfaces considérées deux à deux se projettent sur un quelconque des plans coordonnés suivant des coniques. Les sommets de ces projections sont les projections des points des courbes situés dans les autres plans principaux.

Si les sections principales de deux surfaces du second ordre se rencontrent à angle droit, les surfaces elles-mêmes se couperont sous cet angle aux points où leur intersection perce les plans principaux, et ces points appartiendront au cône. Alors le cône et les surfaces que nous considérons se couperont deux à deux suivant trois courbes qui, projetées sur les plans principaux, seront du second ordre et auront tous leurs sommets (réels ou imaginaires) communs ; elles

(!) Ch. Dupin a donné ce théorème dans ses Développements de Géométrie (4* Mémoire). La démonstration que nous avons adoptée est de M. J. Bertrand (Journal de Mathématiques. i8.{4).