CHAPITRE IV. — LIGNES RELATIVES AUX COURBURES

seront donc identiques, et par suite deux surfaces du second ordre ayant les mêmes plans principaux sont orthogonales quand leurs sections principales se coupent à angle droit.

917. Quand une ellipse et une hyperbole ont les mêmes foyers, elles se rencontrent à angle droit, car leurs tangentes en chacun des points communs sont les bissectrices des angles supplémentaires que comprennent les mêmes rayons vecteurs.

Réciproquement, une ellipse et une hyperbole sont homofocales quand elles ont les mêmes axes et quelles se coupent à angle droit, car l'hyperbole qui passe par les quatre points de rencontre des deux courbes et qui a les mêmes foyers que l'ellipse touche l'hyperbole donnée en quatre points, et par suite se confond avec elle.

De ce théorème et de celui qui a été démontré à l'article précédent, il résulte que deux surfaces du second ordre sont orthogonales quand leurs sections principales sont homofocales. On dit alors que les surfaces sont homofocales.

Lignes de courbure des surfaces du second ordre.

918. Considérons la surface du second ordre représentée par l'équation

à* — m* bz — m1

Les axes coordonnés sont rectangulaires; a2, b2, c* sont des coefficients et m2 une constante arbitraire.

Les différences des carrés des demi-axes sont indépendantes des valeurs de m2, et par suite, si l'on fait passer cette constante par tous les états de grandeur depuis — 00 jusqu'à -f- qo , toutes les surfaces données par l'équation auront leurs sections principales homofocales.

Quand m2 est négative et très grande, la surface est un ellipsoïde; si Ton fait varier m2 comme nous l'avons indiqué, le premier membre de l'équation (i) arrivera à contenir un terme négatif, puis deux et enfin trois; on aura dans ce dernier cas un ellipsoïde imaginaire.

En ne considérant que les surfaces réelles, nous voyons que le système complet des homofocales représentées par l'équation (i) comprend trois séries composées, la première d'ellipsoïdes, la seconde d'hyperboloïdes à une nappe, et la troisième d'hyperboloïdes à deux nappes. La transition d'une série à l'autre se fait par une surface ayant un axe nul, c'est-à-dire par une conique. Nous avons trouvé des dispositions analogues dans le système des surfaces du second ordre qui peuvent être inscrites dans une même développable (art. 526) (l).

(1) Nous avons déjà eu l'occasion de considérer les surfaces du second ordre homofocales (art. 5i'»). III. — De la Gouhxeaie. — Descriptive. va

rjO LIVRE VIII. - COURBURE DES SURFACES.

919. Par un point quelconque de V espace on peut faire passer une surface de chaque série. — On le reconnaît facilement par la discussion directe des séries; ainsi, les ellipsoïdes forment une suite continue depuis l'aire d'une ellipse jusqu'à une surface dont les axes sont infinis, et par suite ils remplissent l'espace de leurs points.

L'équation (i) va nous conduire aux mêmes résultats; on peut la mettre sous la forme

Si oc, y et z sont les coordonnées d'un point donné, on aura une équation du troisième degré pour déterminer la constante m2 qui particularise la surface à laquelle appartient ce point. On peut supposer que a2 est plus grand que b29 et b2 plus grand que c2 ; alors, en faisant successivement m2 égal à a2, b2, c2 et — ao , on trouve des valeurs alternativement positives et négatives pour le polynôme qui forme le premier membre de l'équation. Les trois valeurs de m2 sont donc toujours réelles, et les surfaces qu'elles déterminent appartiennent à des séries différentes.

920. il résulte de ces diverses considérations, et des théorèmes démontrés aux articles 916 et 917, que les surfaces des trois séries représentées par l'équation (i) sont orthogonales, et par suite que leurs intersections mutuelles sont leurs lignes de courbure.

Considérons spécialement la surface qui correspond à la valeur o de m2 et dont l'équation est

(s) Si + '5i + ? = I-

Nous aurons ses lignes de courbure en prenant son intersection avec l'ensemble des surfaces représentées par l'équation (i).

L'élimination de z entre les équations (i) et (2) donne

La projection d'une ligne de courbure d'une surface du second ordre sur l'un quelconque de ses plans principaux est une conique.

En appelant a' et b' les demi-axes de cette courbe considérée comme une ellipse, nous avons