CHAPITRE IV. - LIGNES RELATIVES AUX COURBURES. ()i

L'élimination de m2 entre ces équations donne

On voit que les demi-axes des coniques, projections des lignes de courbure sur un plan principal, sont les coordonnées d'une autre conique. On a, pour déterminer les demi-axes a et |3 de cette courbe auxiliaire considérée comme une ellipse, les équations

921. Lignes de courbure de l 'ellipsoïde scalêne. — Pour discuter les équations que nous venons d'obtenir et en déduire des constructions, nous devons faire des hypothèses sur les signes des carrés a*, b2 et c29 et sur leurs grandeurs relatives. Nous supposons que l'on a

c'est-à-dire que nous considérons la projection des lignes de courbure d'un ellipsoïde scalène sur le plan de l'axe majeur et de l'axe moyen.

Les équations (6) donnent une valeur positive pour a2 et une valeur négative pour /S2 ; la conique auxiliaire est donc une hyperbole.

La/ig. 363 montre la construction des longueurs réelles a et /3 y/ — i . La courbe ADB est la moitié de la section de l'ellipsoïde située dans le plan de projection; le point F est un de ses foyers. Les courbes V et U sont les rabattements autour des axes KA et KD des autres sections principales. Le point/est un foyer de la première de ces ellipses; le point/), un foyer de la seconde.

D'après les équations (6) nous avons

a = |yKB = KO, /3 /=7 = |£ KD = KG.

Lorsque Ton connaît les longueurs a et /3 ^ — 1, on peut tracer l'arc 01 de l'hyperbole auxiliaire. Sur \zfig. 365, dont l'échelle est double, nous avons établi cet arc sans reproduire la construction pour déterminer les axes.

D'après nos hypothèses, a est nécessairement plus petit que a, et le point 0 est entre les points K et B.

Si nous attribuons à a' une valeur déterminée KN {fig. 365 ), l'ordonnée NH sera la grandeur correspondante dei'. L'ellipse NMJN, M,, qui a pour axes les doubles des longueurs KN et NH, est la projection d'une ligne de courbure.

Quand on donne à a! une longueur KP plus petite que KO, l'ordonnée b' de l'hyperbole 01 est imaginaire, et par suite la ligne de courbure correspondante a pour projection une hyperbole dont Taxe non transverse se trouve sur la droite KD. Si nous appelons bt la moitié de la longueur réelle de cet axe, nous aurons

b] = - b\ L'équation (5) deviendra

\Jùts) ci» — 6» a* b*-a* b* — I#

En appelant a et |3, les demi-axes de cette conique, nous aurons

a et {3, sont les longueurs KO et KG (/?#. 303); la seconde auxiliaire est donc une ellipse OG {fi g. 365). L'hyperbole RR, SS, qui passe au point P a pour axes les doubles de l'abscisse KP et de l'ordonnée correspondante KQ.

922. Pour donner de la régularité à la répartition des lignes de courbure, nous avons tracé la courbe D, eD, rabattement sur le plan de projection de la moitié de la section principale contenue dans le plan passant par l'axe mineur et par Taxe moyen ; nous avons partagé cette ligne en parties sensiblement égales, nous avons projeté les points de division sur D, D, et par ces projections nous avons fait passer des ellipses. On pourrait déterminer les sommets des hyperboles, en divisant d'une manière analogue l'arc appartenant a la troisième section principale et projeté sur 00,. Cette construction n'est pas faite sur l'épure de Monge que nous avons voulu reproduire sans altération.

Les ellipses principales sont des lignes de courbure, car leurs plans coupent normalement l'ellipsoïde. Les lignes de courbure qui se projettent suivant des ellipses ne se rencontrent pas, et par suite elles appartiennent à une même série ; celles dont les projections sont des hyperboles rencontrent les premières et dépendent de l'autre série.

L'ellipse principale contenue dans le plan DD, appartient à la série des lignes de courbure dont les projections sont des hyperboles; celle qui est dans le plan AB de Taxe majeur et de l'axe mineur appartient à la même série pour les parties qui se projettent sur les segments BO et AO, , et à l'autre série pour la partie projetée sur 00, ; elle forme donc une transition, et elle est la seule qui passe aux points OetO,.

923. Le point projeté en 0 est rabattu en T sur l'ellipse V dont les demi-axes sont a et c (fig. 363). Nous avons trouvé

ko =V-^«*; d'où OT=Vl£i^;