CHAPITRE IV. - LIGNES RELATIVES AUX COURBURES. q

ajoutant ces deux équations, on obtient

KT = a2-i*-*-c2.

Si KJ est le diamètre de V conjugué à KT, nous aurons

KJ V KT2= a* 4- c\ et par suite KJ = b.

La section diamétrale conjuguée à KT est un cercle, car ses axes KD et KJ ont des longueurs égales. L'indicatrice du point T lui est d'ailleurs homothétique (art. 795); les rayons de courbure des sections normales en ce point sont donc égaux. En résumé, les points 0 et 0, de la surface (fig. 365), par lesquels il ne passe qu'une ligne de courbure, sont des ombilics.

Les hyperboles sont parasites au delà des points où elles rencontrent l'ellipse ADBD, [fig. 365); les ellipses sont utiles sur toute leur longueur, mais si l'on attribuait à a! une valeur supérieure à KB, la valeur correspondante de V serait plus grande que KD, et l'ellipse déterminée par ces demi-axes serait entièrement parasite.

924. Nous allons maintenant chercher la projection des lignes de courbure de l'ellipsoïde scalène sur le plan qui contient l'axe majeur et le petit axe.

Pour approprier à cette projection les équations de l'article précédent, il suffit d'y remplacer

y\ z*, b\ c\ d\ b'*9 a9 et |52

par

s2, y*, c2, b*f à?, c',2, a2 et y2.

a\2, cf9 a2 et y2 sont de nouvelles quantités qui sont suffisamment définies par la substitution que nous venons d'indiquer.

Les équations (6) deviennent

(8) <=£e£*> ?î = fcf>-

Il résulte de nos hypothèses que a2 et y2 sont positifs, et par suite que la conique auxiliaire est une ellipse Xr [fig. 36a). Nous déterminons ses axes a, et y! par une construction analogue à celle qui a été expliquée à l'article 921, et nous reportons leurs longueurs KX et KT à une échelle double sur h fig. 364. L'ellipse A'EB'E, y représentée section de l'ellipsoïde par le plan de projection.

Il est facile de voir que a, et y, sont respectivement plus grands que a et c : les points X et T se trouvent donc en dehors de l'ellipse A'EB'E,; d'après cela, quelque position que l'on assigne au sommet d'une conique sur KB' ou sur KE,

r)i LIVRE VIII. - COURBURE DES SURFACES.

qu'on le place en <p' ou en [/., on trouvera toujours une seconde coordonnée réelle 9'/ ou |i£. Les projections des lignes de courbure sont donc des ellipses, et l'arc Xr de la conique auxiliaire suffit pour les déterminer.

925. En faisant les substitutions convenables dans l'équation (3), on obtient, pour équation générale des coniques projections des lignes de courbure sur le plan de l'axe majeur et de l'axe moyen,

La droite qui passe par deux des sommets de l'ellipse auxiliaire non situés sur un même axe a pour équation

Si l'on suppose que chaque radical porte avec lui le double signe, cette équation représentera l'une quelconque des quatre droites indéfinies qui forment les côtés

du losange XrXT'.

L'élimination de s entre les équations (9) et (10) donne

Les deux racines de cette équation sont égales quelle que soit/n, par conséquent toutes les coniques représentées par l'équation (9) sont tangentes aux droites XT, TX', XT", FX, et le système de ces quatre lignes forme leur enveloppe.

Quand m2 égale 62, l'équation (9) détermine l'ellipse principale A'EB'E,. En introduisant cette valeur de m2 dans l'équation (1 1), et résolvant, on obtient

la*— try a- — c*

Cette valeur est précisément celle que donne la première des équations (G) pour la longueur a qui représente l'abscisse des points 0 et 0, [fig. 365). Les ombilics sont donc les points de contact de l'ellipse principale A'EB'E, avec les côtés du losange circonscrit XTXT'.

9S5(J. Quand on donne a a\ une valeur plus grande que KX {fig. 36 i), l'ordonnée c\ de l'ellipse auxiliaire XT est imaginaire, et la conique correspondante est une hyperbole. Pour déterminer la longueur réelle c\\'—i9 on peut tracer une seconde auxiliaire qui sera une hyperbole, ayant pour axe transverse X'X et pour axe non transverse IT".