PLUS GRANDE QUE

Positif

Positif et plus petit que a* et b*.

Positif

Négatif et plus petit que b* en grandeur-absolue.

Négatif.

Positif

Positif et plus grand que a* et b*.

Négatif.

Négatif et plus petit que b* en grandeur absolue.

q6 LIVRE VIII. - COURBURE DES SURFACES.

Quand e2 est négative, nous trouvons un ellipsoïde projeté sur le plan de Taxe mineur et de l'axe moyen : les points 0 et 0, sont sur le premier. Les grands axes des ellipses qui sont dessinées étant sur AB, on ne voit pas immédiatement comment la disposition que nous indiquons peut être réalisée ; mais il faut remarquer que la grandeur absolue de j3* étant supérieure à aa, l'angle des asymptotes de l'hyperbole auxiliaire est obtus, et que par suite, à partir d'un certain point, les valeurs de b' surpassent celles de a'; il en résulte qu'une des ellipses de la série générale est un cercle, et que celles qui la suivent ont leur grand axe sur la droite indéfinie D, D.

Lorsque e2 est positive et plus petite que aa, les surfaces sont des ellipsoïdes projetés sur le plan de l'axe majeur et de l'axe moyen. La figure est établie spécialement pour ce cas.

Quand e2 est comprise entre a2 et — |3a, on obtient des hyperboloïdes h deux nappes projetés sur le plan qui contient le plus grand des deux axes non transverses et l'axe transverse; les points 0 et 0, sont sur ce dernier. Les ellipses ont chacune deux arcs utiles et deux parasites; les hyperboles qui se trouvent en dedans du contour apparent sont utiles, les autres parasites.

Enfin, lorsque e2 est plus grande que — j3*, on a des hyperboloïdes à deux nappes projetés sur le plan des deux axes non transverses : les points 0 et 0, sont sur le plus petit des deux. Les ellipses et les hyperboles sont utiles sur toute leur longueur.

928. On trouve par des raisonnements analogues que les coniques qui sont tangentes aux quatre côtés du losange XTXT' [fig. 36{) sont les projections des lignes de courbure d'une série d'ellipsoïdes et de deux séries d'hyperboloïdes a deux nappes. Le plan de projection contient Taxe majeur et l'axe mineur de chaque ellipsoïde, l'axe transverse et l'axe non transverse mineur de chaque hyperboloïde.

On peut dire d'une manière générale que les dispositions représentées en partie sur lesyïg-. 36/» et 365 sont celles des lignes de courbure de l'ellipsoïde et de l'hyperboloïdc à deux nappes, projetées sur le plan des ombilics et sur un autre des plans principaux.

929. Il nous resterait à étudier les lignes de courbure de l'hyperboloïdc à une nappe, mais nous nous bornerons à quelques observations. Sur le plan de l'ellipse de gorge, les coniques sont à peu près disposées comme celles de la fig. 365 : l'angle des asymptotes de l'hyperbole auxiliaire est aigu, et par suite toutes les ellipses ont leur grand axe sur la même droite. Les points 0 et 0, sont dans l'intérieur de l'ellipse de gorge, et appartiennent à un segment parasite de la projection de la section par le plan qui contient l'axe non transverse et Taxe transverse majeur : l'hyperboloïde gauche, étant une surface à courbures opposées, ne peut en effet avoir d'ombilics.