CHAPITRE IV. - LIGNES RELATIVES AUX COURBURES

Sur le plan de l'axe non transverse et de l'axe transverse mineur, la courbe auxiliaire est une ellipse imaginaire. Cela indique qu'à toute valeur réelle de a1 ou b' correspond une grandeur imaginaire pour b' ou a\ et que par suite les courbes des deux séries sont des hyperboles telles que les axes transverses des unes et les axes non transverses des autres sont sur une même droite. En remplaçant successivement /32 par — $'\ et y2 par — y*, on obtient deux hyperboles qui font respectivement connaître les axes des coniques des deux séries.

Observations sur les dispositions des lignes de courbure près d'un ombilic.

950. Les raisonnements que nous avons présentés à l'article 820 pour établir qu'il passe deux lignes de courbure en chaque point d'une surface ne subsistent pas pour un ombilic, car l'équation (20) de l'article 811 montre qu'en un tel point la déviation est nulle dans toutes les directions; mais, comme la même circonstance n'a pas lieu aux points voisins, les surfaces lieux des normales aux divers points d'une courbe qui passe à un ombilic sont en général gauches, et n'ont de remarquable que d'avoir un sommet sur la génératrice qui rencontre la surface considérée à l'ombilic.

Les lignes de courbure présentent près des ombilics diverses dispositions. Nous constaterons ici celles que l'on rencontre sur les surfaces que nous connaissons.

i° Sur les surfaces du second ordre, une seule ligne de courbure passe à un ombilic; elle forme transition entre les deux séries.

20 Quand une méridienne est rencontrée normalement par l'axe, le point commun est un ombilic de la surface de révolution. Une infinité de lignes de courbure, toutes de la même série, passent à ce point.

3° Quand le centre de courbure C d'une méridienne pour un point M est sur l'axe de révolution, les points du parallèle décrit par le point M sont des ombilics. Deux lignes de courbure, un méridien et le parallèle, passent à chacun d'eux.

Les méridiens sont en général les lignes de plus grande courbure d'un côté du parallèle, et de plus petite courbure de l'autre côté.

Monge a appelé lignes dm * mUriaucs les lignes dont tous les points

sont des ombilics»

4° Sur la sptài * courbe quelconque

peut être co*

os

Mesure de la courbure (fune sur /a ce en un point.

931. La considération des lignes de courbure est d'une grande utilité dans diverses recherches géométriques. Nous allons en donner un exemple.

Soit, sur une surface, un rectangle ACDB (fig. 3G()) dans lequel deux côtés opposés appartiennent à deux lignes de courbure infiniment voisines : les côtés de ce rectangle étant infiniment petits doivent être considérés comme rectil ignés et égaux deux à deux. La normale à la surlace au point A rencontre les normales aux sommets B et C en des points P et Q. Les segments AP et AQ sont les rayons principaux R, et R2, et, en appelant e et t\ les angles APBet AQC, on a

AB^ R,c, AC = Rau.

L'aire ABDC doit être par conséquent égale à R, R2syj.

Supposons maintenant que par le centre o d'une sphère d'un rayon égal à l'unité, on fasse passer quatre plans respectivement parallèles aux plans qui contiennent les normales en deux sommets voisins du rectangle ABDC, on déterminera sur la sphère un rectangle abdc, dont l'aire sera er,, et l'on aura

ahdv i

ABDC \{l\\1

On peut regarder le périmètre abdc comme le lieu des pieds des rayons parallèles aux normales aux différents points du périmètre ABDC.

La forme rectangulaire n'a aucune importance pour le résultat que nous venons d'obtenir, car, quelle que soit l'aire infiniment petite considérée, on peut toujours la concevoir divisée en rectangles dont les côtés ayant des longueurs infiniment petites du second ordre seront dirigés sur les lignes de courbure.

Nous voyons d'après cela que si, parle centre d'une sphère d'un rayon égala r unité, on mène des droites parallèles au r normales à une surface aux différents /foints du périmètre d'une aire infiniment petite, on déterminera sur la sphère une aire dont le rapport à l'aire considérée sera égal à r unité divisée par le produit des rayons de courbure principauv de la surface [*). Gauss a appelé ce rapport mesure de ta courbure; en adoptant cette définition, on doit considérer la courbure comme positive ou négative, suivant que la surface est convexe ou k courbures opposées.

( l ) On peut voir pour ce théorème une Note do Binct sur un Mémoire par Olinde Rodrigues, dans K» troisième Volume <lo la Corres/xmt tance de V École Polytechnique.

CIIAP1TKK IV. - LIGNES KELVriYKS Al'X C.OIKBI RKS. QC)

§ II.— Lignes asymptotiqies.

Considérations générales .

952. Nous avons dit à l'article 820 que, sur une surface, une ligne asymptotique est une courbe tangente en chaque point à une asymptote de l'indicatrice de ce point. Il résulte de cette détinition et du théorème de l'article 818 que toits les plans oscillateurs d'une ligne asymptote /ue d'une surface sont tangents à cette surface. Nous avons dû faire, il est vrai, dans l'énoncé de la proposition de l'article 818, cette restriction que le contact de la courbe avec une asymptote de l'indicatrice soit seulement du premier ordre, mais une ligne ne peut avoir des inflexions qu'en des points singuliers.

Réciproquement, et en vertu d'un théorème que nous avons établi à l'article 797, une courbe tracée sur une surface est asymptotique, quand chacun de ses plans osculateurs est tangent à la surface.

Lignes asymptote/ nés des surfaces gauches.

933. Les surfaces du second ordre ont pour asymptotiques des droites qui ne sont réelles que pour l'hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique.

Sur une surface gauche, les génératrices sont les asymptotiques de l'une des séries, et on appelle spécialement asymptotiques celles de ces lignes qui appartiennent à la seconde série.

Considérons une génératrice G et appelons G' la génératrice qui lui est infiniment voisine : G' appartient à l'hyperboloïde osculateur le long de G. Les génératrices du second système de cet hyperboloïde sont tangentes aux asymptotiques de la surface, et par suite quatre de ces lignes interceptent sur G et sur G' des segments dont les rapports anharmoniques sont égaux (art. 699), même en ayant égard aux infiniment petits du premier ordre. Les quatre asymptotiques coupent successivement les diverses génératrices, et, d'après ce que nous venons de voir, le rapport anharmonique des points de rencontre est invariable de l'une à l'autre. Nous avons donc ce théorème : Dans toute surface gauche, le rapport anharmonique des points oà quatre asymptotiques déterminées rencontrent deux génératrices quelconques est constant. On peut encore dire (art. 699, noie) que les points où les lignes asymptotiques d'une surface gauche coupent deux génératrices quelconques forment sur ces droites des divisions homo graphiques .

Quand la surface est un conoïde, les hyperboloïdes osculateurs sont des paraboloïdes, et, en raisonnant comme précédemment, on trouve que les asym-

IOO LIVRE VIII. - COURBURR DES SURFACES.

ptotijucs interceptent sur cleu v génératrices quelconques des segments proportionne/s (art. 610) (M.

934. Quand une génératrice passe à un sommet, elle n'est pas croisée à ses différents points par les asymptotiques, car elle est une ligne de courbure et les asymptotes des indicatrices sont confondues avec elle. Au sommet, tous les plans contenant la génératrice doivent être considérés comme tangents, et chacun d'eux est le plan osculateur d'une asymptotiquequi rencontre tangentiellement la génératrice section normale d'un rayon infini.

Quand la surface a une directrice rectiligne, cette droite est une asymptotique en tous ses points et notamment k chacun des sommets où elle passe. On voit ainsi qu'à un sommet une asymptotique peut ne pas être tangente a la génératrice. En résumé, les asymptotiques d'une surface gauche passent à chaque sommet, et y sont en général tangentes à la génératrice.

935. On considère quelquefois la surface gauche formée par celles des normales à une courbe gauche qui sont respectivement situées dans les plans oseulateurs et que l'on appelle normales principales. La directrice est une courbe asymptotique de la surface gauche, car chacun de ses plans osculateurs lui est tangent. Nous concluons de là que le lieu des normales principales à une courbe gauche ne peut pas être un hyperboloïde, car les lignes asymptotiques de cette surface sont des droites f2;.

En tout point delà directrice, les deux asymptotiques delà surface gauche sont cette courbe et la génératrice, lignes qui se rencontrent à angle droit. 11 résulte de là que les rayons de courbure principaur de la surface sont égaux en grandeur absolue auv divers points de la directrice.

Lorsqu'une ligne asymptotique dune surface gauche est une trajectoire orthogonale des génératrices, cette surface est le lieu des normales principales à l' asymptotique (:|).

Lignes asymptotiques des surfaces de révolution.

936. Les surfaces de révolution n'ont des lignes asymptotiques que sur les parties qui sont engendrées par les arcs de la méridienne dont la convexité est tournée

( M (les théorèmes sont dus à M. Paul Serret {Thèse sur lis propriétés gvomêlriyues des courbes a double courbure ).

< i ) L'étude de la surface lieu dos normales principales à une courbe gauche se ramène à l'étude de la surface lieu des normales à une développable sur laquelle la courbe donnée est une géodésique. Cet le développable est l'enveloppe des plans tangents à la courbe gaucho donnée et respectivement perpendiculaires à ses plans osculateurs.

Vax se reportant à l'article 851, on voit que In grandeur absolue du produit des rayons de courbure de la surface lieu des normales principales à une courbe gauche, en un point de cette courbe, est égale au carre du rayon de seconde courbure correspondant à ce point. ( Mannhkia:. )

CM Ces théorèmes sont dus à M. J. Bertrand, Journal de M. Liouvdlc, i8>o.