CHAPITRE IV. - LIGNES RELATIVES AUX COURBURES. JOI

vers l'axe, car ce sont les seules dont les courbures soient négatives (art. 931). Ces parties sont limitées à des parallèles le long desquels la surface est touchée par un plan, et quelquefois à un parallèle d'inflexion Aa (fig. 35G).

En un pointC du parallèle Aa, la méridienne, qui est une section principale, a un rayon infini; les deux lignes asymptotiques lui sont donc tangentes, et, comme elles ne peuvent dépasser le point C, elles forment les deux branches d'un rebroussement. On voit que le parallèle d'inflexion est le lieu des points de rebroussement des asymptotiques, et que les deux branches de chacune de ces lignes appartiennent aux deux séries différentes.

Les sections principales sont les méridiens et les courbes tangentes aux parallèles; aucun de leurs rayons de courbure n'est infini dans la partie comprise entre Aa et Bb. Il résulte de là qu'à partir du rebroussement C, les deux branches d'une asymptotique se rapprochent continuellement du parallèle Bb. D'ailleurs, elles ne peuvent pas l'atteindre, car ce parallèle est une asymptotique qui n'est rencontrée par aucune autre, parce qu'en chacun de ses points la surface a un plan tangent unique, et une seule section à courbure nulle. Il passe partout point de la zone considérée, quelque voisin qu'il soit du parallèle Bè, deux asymptotiques qui d'un côté se rapprochent de ce parallèle, et de l'autre s'avancent vers le cercle Aa. 11 résulte de ces diverses considérations que les asymptotiques sont toutes asymptotes du parallèle supérieur B b.

§ III. — Lignes tangentes aux sections normales surosculêks par des cercles.

Détermination des sections normales surosculées par des cercles en un point d'une surface.

937. Considérons deux surfaces 2 et 2\ l'une quelconque, l'autre du deuxième ordre et osculatrice de la première en un de ses sommets : ces deux surfaces se traversent, et l'on reconnaît, par des considérations analogues à celles de l'article 865, qu'il y a un contact du troisième ordre entre leurs sections par un même plan normal contenant la tangente à une des branches de l'intersection. La section faite dans 1' est une conique ayant un sommet au point de contact : la section de 2 est donc surosculée par un cercle.

Nous prenons pour origine le point où les surfaces se touchent, et pour axe des ordonnées z leur normale commune : les deux autres axes sont dans le plan tangent. Si nous ne considérons que la partie voisine de l'origine, pour laquelle l'ordonnée s est infiniment petite du second ordre, l'équation de la surface 2, supposée algébrique ou développée suivant les puissances entières des variables, se réduira à la forme suivante, quand on y négligera les infiniment petits d'un ordre plus

élevé que le troisième :

(Mi3 + M V 4- N.r*7 4- N r v2

^ I +A,r24-AV + B^ + B'5.r4-B"y: + Cz = o.

La surface du second ordre 2' osculatrice de 2 en un de ses sommets est représentée par l'équation (art. 792)

Ax* 4- A>a 4- Kz7 4- Bxy 4- Cs = o,

dans laquelle K est un coefficient arbitraire. En considérant seulement la partie de 2' voisine de l'origine» et négligeant le terme en z1 qui est du quatrième ordre, l'équation se réduit à

\2) A.r2 4- h! y'1 4- Bxy 4- Cz = o.

Les sections normales surosculées par des cercles, dans la surface 2, sont tangentes aux intersections des surfaces représentées par les équations (i) et (2). L'élimination de z nous fera donc connaître les tangentes à ces courbes.

Eu égard à l'équation (2), l'équation (1) se réduit à

Mo?8 4- MV 4- N.r* v 4- H' or y* 4- (B'.r 4- B"v, z = o. L'élimination de z entre cette dernière et l'équation (2) donne