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On voit qu'il passe par tout point d'une surface trois sections normales surosculées par des cercles, et qu'il ne peut y en avoir plus de trois, à moins qu'elles ne jouissent toutes de cette propriété : tous les coefficients de l'équation sont alors nuls. Deux des trois sections peuvent évidemment être imaginaires.
938. Si la surface proposée 2 est du second ordre, M, M', N et N' seront nuls, et l'équation (3) se réduira à
AB"7' 4- ( A B' 4- BB") K -h ( AB" 4- BB' i - 4- AB - o. " On peut mettre cette équation sous la forme
CIIVPITRE IV. - LICNES RELATIVES AUX COURBURES. lo3
Elle se divise donc en deux équations :
La première représente l'intersection de la surface du second ordre par le plan des xy, et par suite les génératrices rectiligncs qui sont en effet des cercles d'un rayon infini; la seconde détermine la tangente à une section normale surosculée par un cercle d'un rayon fini. Cette section est toujours réelle.
Dans le cas qui nous occupe, les surlaces 2 et 2' sont toutes les deux du second ordre. Elles se coupent d'ailleurs suivant deux droites : leur intersection complète comprend donc, en outre, une courbe plane (art. 252). Il est facile de reconnaître que cette courbe est en général située dans un plan oblique.
Détermination sur les surfaces du second ordre des lignes tangentes auœ sections normales surosculées par des cercles.
959. On peuteoncevoir des courbes qui soient tangentes aux sections normales surosculées par des cercles, comme les lignes de courbure le sont aux sections principales. Chaque surface a trois séries de ces lignes ou une seule série.
939 a. Nous avons donné en i855, dans le Journal de M. Liouville, l'équation générale des courbes tangentes aux sections normales surosculées par des cercles. Nous allons reproduire ce travail en développant les calculs plus que nous ne l'avons fait alors.
Nous nous occuperons d'abord d'une surface quelconque, sur laquelle nous considérons une section par un plan normal en un point. Nous appelons R le rayon de courbure de lu section en ce point, et a, p, y les cosinus des angles que sa tangente fait avec trois axes coordonnés rectangulaires. Nous regardons l'ordonnée z du point de la surface comme une fonction des coordonnées horizontales .r et y, et nous désignons suivant Tusage par/?, 7, r, ... ses dérivées partielles des différents ordres.
Kn posant
on a, d'après une formule connue,
(ai H.=.£±£:
Si la section est surosculée par un cercle, elle a le même rayon de courbure au point infiniment voisin de celui qui est considéré, et par suite on peut dififérentier l'équation (a) en regardant R comme constant. On a ainsi
(pt-\- ?*-+- i)^/Zi— [(ps + qt)dy -t- (/>/" -+- qs)dx]Z, -: o.
loG LIVRE VIII. - COURBURE DES SURFACES.
scisses la projection sur le plan XOY d'une droite tangente, au point considéré, à une sec-
tion normale surosculéc par un cercle. L'équation (i5) est du troisième degré en -; une
surface quelconque a donc en chacun de ses points trois sections de ce genre, dont une
au moins est réelle.
Pour avoir l'équation différentielle des [lignes tangentes en chacun de leurs points à
3 dy
une section normale surosculée par un cercle, il suffit de remplacer - par sa valeur -j—
prise dans les relations (3 ). On trouve
Cette formule nous sera utile plus loin.
940. D'après ce que nous avons vu (art. 938), les surfaces du second ordre n'ont qu'une série de lignes tangentes aux sections normales surosculées par un cercle, non compris les génératrices. Sur ces surfaces les courbes dont nous nous occupons sont d'ailleurs telles que toute section normale, tangente à Tune d'elles en un point, est une conique ayant un sommet à ce point. Nous allons les déterminer par cette propriété.
Considérons un plan P tangent en un point M à une surface du second ordre, et en un point G k une sphère ayant le même centre que la surface [fie- 371) : le rayon de cette sphère est la perpendiculaire AG abaissée sur le plan P du centre [commun A. Si nous concevons une développable circonscrite à la sphère et à la surface, la droite MG en sera une génératrice, et la tangente ML a la courbe de contact au point M sera, dans l'indicatrice de ce point, le diamètre conjugué à MGM ).
Nous faisons passer par le centre A un plan Q parallèle à P; il coupe la surface du second ordre suivant une conique homothétique à l'indicatrice du point M : les diamètres EF et IJ, respectivement parallèles à MG et à ML, sont par conséquent conjugués.
La normale au point M doit être parallèle à GA : elle rencontre EF en un point I). Nous faisons passer un plan par cette normale et par la droite ML tangente à la courbe de contact; il coupe la surface du second ordre suivant une
i l ) Nous n'avons tracé ni les contours apparente de la sphère et de l'ellipsoïde, ni leurs lignes de contact avec la développable. Ces lignes sont inutiles à la démonstration, cl elles eussent compliqué la figure. Nous avons d'abord tracé les courbes EIF.I et EMF, puis nous avons déterminé la conique BMC en faisant des sections par des plans parallèles à l* : son centre est à l'intersection de MD avec lo diamètre de la conique EMF conjugué à la direction AG.
