CHAPITRE IV. - LIGNES RELATIVES AUX COURBURES. I

conique BMC. Son intersection BC avec le plan Q est parallèle à ML et à IJ : le milieu de la corde BC est par conséquent au point D. II résulte de la que la droite MD est dans la conique BMC un diamètre conjugué à la direction ML; comme d'ailleurs elle est perpendiculaire à ML, on voit que le point M est un sommet de cette courbe.

Nous obtenons ainsi ce théorème : 5/ l'on circonscrit une développable à une surface du second ordre et à une sphère concentrique, la ligne de contact sur la surface sera tangente en chacun de ses points à une section normale surosculèe par un cercle.

941. En renversant Tordre des raisonnements, on trouve que quand, sur une surface du second ordre, un point M est un des sommets d'une section normale BMC, cette courbe est tangente en M à la ligne de contact de la surface considérée avec une développable qui lui serait circonscrite ainsi qu'à une sphère de même centre quelle. Il suit de là que le plan tangent P n'aura pas cessé de toucher la sphère dont le rayon est AG, s'il roule sur la surface du second ordre de manière que son point de contact se transporte sur la section BMC à une distance infiniment petite de M. Nous avons donc un second théorème réciproque du premier : Lorsqu'une courbe tracée sur une surface du second ordre est telle que chacun de ses points soit un sommet de la section normale qui lui est tangente, les plans tangents à la surface en ses différents points sont tous à une même distance du centre.

Il résulte de ces théorèmes que, déduction faite des génératrices rectilignes, il ne passe par un point d'une surface du second ordre qu'une courbe tangente à des sections normales surosculées par des cercles, car le plan tangent en un point ne touche qu'une sphère concentrique à la surface.

Poinsot a appelé polhodie la courbe de contact d'un ellipsoïde avec une développable circonscrite à cette surface et à une sphère concentrique ('). Nous adopterons cette expression en l'étendant d'ailleurs aux lignes qui jouissent de la même propriété sur les autres surfaces du second ordre.

942. Les observations que nous avons présentées à l'article 540, et les formules que nous avons données dans les articles qui précèdent celui-là, permettent de déterminer facilement les polhodies d'une surface du second ordre donnée.

Les droites diamétrales conjuguées communes à la sphère et à la surface considérée sont dirigées suivant Jes axes de cette dernière. Si nous désignons par

(l) La courbe que Poinsot a appelée polhotiie est tracée sur un ellipsoïde dans lequel l'inverse de la valeur du carré do l'axe mineur est plus grand que la somme dos inverses des carrés dos deux autres

axes (-%> ~î + jâj'Le savant géomètre a été conduit à l'étude de cette courbe par des considérations

de Mécanique {Journal de M. Liouville, i85i).

ro8 LIVRE VIII. — COURBURE DES SURFACES.

les lettres m et n les longueurs appelées b et c à l'article 537, et si nous conservons les autres notations de cet article, les deux premières équations de condition (5) seront

\ mx) px m8

m et n d'une part,/? et q de l'autre, sont les demi-axes des lignes doubles de la développable situées dans les deux plarçs coordonnés respectivement perpendiculaires à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées verticales : X, jjl et y sont les demi- axes d'une surface du second ordre inscrite dans la développable.

Si nous représentons par a, b et c les demi-axes de l'ellipsoïde considéré, et par r le rayon de la sphère, la développable devant être circonscrite à ces deux surfaces, nous aurons

\( — yl\?l u- — — If y*\rt r* —

( y m*)p* + m* - ,; ( \l ~" m*)? + Trt ~ lm On déduit facilement de ces quatre équations les valeurs de m2, n*, p* etq

,i — fl* I /•» c1

Les équations de la courbe de contact de la développable avec une surface inscrite du second ordre sont données à l'art. 539 ('). La première est

( l ) Puisque nous avons occasion do revenir sur les développâmes circonscrites, nous remarquerons que la proposition de l'art. 513 n'est qu'un corollairo d'un théorème plus général qui consiste en ce que les génératrices d'une développable circonscrite à une série do surfaces du second ordre sont divisées homographiquement par les lignes do contact do ces surfaces. On peut obtenir ce théorème par la méthode suivie aux art. 51 1 et suivants; on peut aussi le déduire, par la théorie des polaires réciproques, d'une proposition de Chasles (Comptes rendus, i* semestre de 1857, p. 1062). 11 permet de tracer facilement les projections do la ligne do contact qui passe par un point, quand on connaît trois des lignes doubles.