CHAPITRE IV. - LIGNES RELATIVES AUX COURBURES. 10C

Remplaçant/?2 et q2 par leurs valeurs trouvées plus haut, on obtient

Pour avoir la projection sur le (plan horizontal XOY de la courbe de contact de la développable avec l'ellipsoïde, on remplace X et p. par a et b, et Ton a

943. On peut arriver à cette seconde équation de la polhodie en calculant la distance rdu centre de la surface du second ordre

—. -+- xr -4- — = I a- b% c2

à son plan tangent. On trouve

^, j et s étant les coordonnées du point de contact. En éliminant sa entre ces équations, on obtient l'équation à laquelle nous sommes parvenus par la considération de la développable circonscrite.

943 bis. On peut déduire ce résultat de l'équation (16) de Fart. 939a.

Les lignes tangentes aux sections normales surosculées par des cercles forment en général trois systèmes. Quand la surface est gauche, l'un d'eux est formé des génératrices rectilignes, mais on peut facilement l'éliminer, car les polynômes

\dx) \dx)

ont alors, comme Ton sait, un facteur commun qui, égalé à zéro, représente ces droites.

( > ) Pour obtenir une seconde équation d'une polhodie par la méthode de Fart. 942, sans appliquer les formules générales démontrées précédemment (art. 537 à 540), on rapporte l'ellipsoïde, de demi-axes «, 6, c, et la sphère concentrique, de rayon r, aux axes de l'ellipsoïde. Puis, exprimant que le plan tangent à l'ellipsoïde en x',/, zf coïncide avec le plan tangent à la sphère en x*, y, z", on obtient trois égalités donnant .r*, y\ z". L'équation de la sphère étant satisfaite par ces valeurs, on a une égalité qui, en y supprimant les accents de x', y, z\ donne une équation de la polhodie cherchée. L'élimination de z entre cette équation et celle de l'ellipsoïde conduit à la dernière de l'art. 942. (E. L.)

Lorsque la surface est du second ordre, elle possède deux systèmes de génératrices rectilignes : le premier des polynômes est divisible par le second, et le quotient est nécessairement égal à

r dy a

Zl dx Zv

L'équation différentielle des lignes du troisième système, le seul qu'il y ait lieu de considérer, est donc

ou bien

(0 \jt (/»"+ ?*-+- 0 - (/» + foJajH- [57(/>, + '/, + 0 ~</" '-+-7*)] = o.

Appliquons cette formule à la surface représentée par l'équation

a1 6* c* On trouve d'abord

et ensuite

cfc(al — j:*) w c6(6* — v*).r c c6(as — J?*).v.

',1 + ^, + , = 3i(-y- + tr-h5>

En portant ces valeurs clans l'équation (i), on trouve, après quelques réductions qui se présentent spontanément,

// Va* + ^ ! ~*~ c* ) dx~*~ a\~^ ~h P ~ f ~*~ ~?~ / "~ °'

En éliminant le binôme ( — î -+- 71 ) à l'aide de l'équation (2), on obtient

/ c* \ y dy ( c*\x dx

et, en intégrant, on a