CHAPITRE IV. - LIGNES RELATIVES AUX COURBURES. i

On arrive ainsi à l'équation donnée par Poinsot pour la projection horizontale de la polhodie, pour laquelle le plan tangent est à une distance du centre égale à c (*).

9ii. Nous voyons que les projections sur le plan horizontal XOY des polhodies tracées sur une même surface du second ordre sont des coniques homothétiques dont les axes se confondent, en direction, avec les axes horizontaux de la surface.

Si nous désignons par a' et b' les longueurs des demi-axes de Tune des coniques, nous aurons

d'oii

L&fig. 371 représente plusieurs polhodies tracées sur un ellipsoïde scalène. Nous avons

a = OA, 6 = OB, c = 0'C,

Les projections horizontales des courbes sont des ellipses.

Après avoir déterminé sur les projections verticales les foyers F et /, on obtient par une construction facile les points K et L, qui satisfont aux conditions

O'K = --*--, Q"L = —g-- ; sjtf — c* s/b' — c*

prenant alors les longueurs OP et PQ respectivement égales à O'K et à O'L, nous pouvons tracer la droite OQ, qui est telle que les coordonnées de ses différents points sont les moitiés des axes des diverses ellipses.

9i5. Les projections des courbes sur le plan vertical perpendiculaire h Taxe moyen BB, sont données par l'équation

\l a*)a*~*~\l c*)c*~l /*' Elle se réduit à

C) La démonstration géométrique que nous avons donnée aux art. 910 et 941 a été trouvée par M. Mannheim, à qui nous avions communiqué les résultats du calcul qui précède.

I î 2 LIVRE VIII. - COURBURE DES SURFACES.

dans le cas particulier où la constante r est égale à b. La polhodie est alors formée en projection de deux droites O'N' et O'N',, et dans l'espace de deux ellipses. On peut obtenir les droites O'N' et O'N,, soit par la construction qu'indique la formule que nous venons de trouver, soit en relevant sur le contour apparent C'A' le sommet N de l'ellipse horizontale qui passe par les points B etB,.

Les projections des autres polhodies sont des hyperboles semblables au système des droites O'N' et O'N',. On obtient un point M' ou R' de chacune d'elles, en relevant sur le contour apparent C'A' le sommet M ou R de l'ellipse correspondante.

Sur le plan perpendiculaire à l'axe majeur, les projections sont des ellipses comme sur le plan perpendiculaire à l'axe mineur.

A chaque sommet de la surface, toute section normale est surosculée par un cercle, mais il passe seulement deux polhodies aux sommets B etB,, extrémités de Taxe moyen. Chacun des quatre autres sommets doit être considéré comme formant à lui seul une de ces courbes.

Nous pourrions faire, sur les parties parasites des projections des polhodies, dos observations analogues à celles que nous avons présentées à l'art. 927, pour les projections des lignes de courbure.

Il serait facile de construire pour une valeur de r les trois lignes doubles concentriques de la développable circonscrite, sa courbe de contact avec la sphère, son arête de rebroussement, etc. Nous ne nous arrêterons pas k ces questions, mais nous les indiquons comme des sujets d'exercices graphiques (*).

§ IV. — Lignes geodésiques. — Lignes tangentes aux sections de même courbure.

Définitions et considérations générales.

946. On peut concevoir sur les surfaces certaines lignes dont le tracé dépend des courbures, mais qui diffèrent des courbes que nous avons étudiées, en ce qu'il en passe une infinité par chaque point. De ce nombre, sont les lignes geodésiques et les lignes tangentes aux sections normales de même courbure.

Nous avons déjà parlé des lignes geodésiques à l'art. 482; ce sont des courbes tracées sur une surface, et dont la longueur entre deux quelconques de leurs points est plus courte que celle de toute autre ligne voisine que l'on pourrait tracer sur la surface entre ces points. Nous avons vu que sur une développais* une géodésique a tous ses plans oseuli rs normaux à la surface,

(') M. YalsGiï a démontré qu* I <lo cnurUuro prmeijuiux d'une surface du smmd

ordre est constant en tous V

j 14 LIVRE VIII. - COURBURE DES SURFACES.

(art. 474 et 819). Il suit de là que, lorsqu'une courbe est tracée sur une sut/ace, sa courbure géodésiquc en un point est la courbure de sa transformée dans le désœloppemcnt de la développable cùvonscrite dont elle est la ligne de contact.

948. Nous conservons les notations précédentes, et de plus nous appelons R, le rayon de courbure de la section faite dans la développable circonscrite par un plan perpendiculaire à la génératrice rectiligne, et <p l'angle de la courbe s avec cette section.

Le rayon de courbure de la section normale a I et tangente à s est ^A^- Le

théorème d'Euler donne par conséquent