CHAPITRE I. — THÉORIE GÉNÉRALE. I I

de construire la projection verticale aVde la tangente. Le lieu des traces des tangentes forme une développante du cercle ÀB.

952. Il est facile d'obtenir l'équation de la projection verticale A' A" de Thélice (Jîg. 373). Si nous appelons z l'ordonnée prrt! d'un point (m, m!) de l'hélice, nous aurons

z = £arcA/w,

tétant un coefficient constant. L'abscisse a? du point m' étant la longueur A'p égale au sinus de l'arc A/w dans le cercle AB, dont nous désignons le rayon par/% nous obtenons

Ces deux équations donnent

x = rsin

x = rsin-r-kr

Pour avoir la valeur de k en fonction du rayon r et du pas H, nous remarquons que, quand l'abscisse est r, l'ordonnée z est le quart de H. On a donc, en vertu de l'équation précédente,

II 1. . 1 à

r= rsin 7-7- > d'où k=-> [\kr r

et par suite l'équation de la courbe devient

(3) £P = rsin7-

On voit que la projection d'une hélice sur un plan^É^MaiiHriviVT à son axe est une sinusoïde (art. 1 47).

953. Un arc croît plus rapidement que son sinus; par conséquent, à partir de l'origine A', l'ordonnée z croît plus rapidement que l'abscisse x, et, d'un côté comme de l'autre, la courbe tourne sa convexité vers la ligne de terre : elle a donc une inflexion en A'. On arrive au même résultat, soit en faisant le développement du cylindre sur le plan tangent en A', soit en s'appuyant sur le théorème démontré à l'article 474. Par la première manière, on voit que les points de la sinusoïde situés de part et d'autre de la ligne de terre se transportent de différents côtés pour se rendre sur la tangente en A'; par la seconde, on remarque que, l'hélice ayant pour transformée une droite, son plan osculateur est toujours normal au cylindre, et que par suite au point A' il est perpendiculaire au plan vertical.

Nous voyons, par cette dernière considération, que (anormale principale d'une hélice en un point (A, A') est la perpendiculaire (AO, A') abaissée de ce point sur l'axe.

I i8 LIVRE IX. - SURFACES HÉLIG01DES.

Projection oblique d'une hélice sur un plan perpendiculaire à son axe.

954. Si un cercle horizontal AB [fig. 374) tourne autour de son centre 0, et s'élève en même temps de manière que ce centre parcoure une verticale (0, A' A"), ces deux mouvements étant d'ailleurs uniformes, un quelconque de ses points tel que (A, A') décrira une hélice. Toute hélice peut être considérée comme engendrée de cette manière.

Supposons maintenant que le cercle mobile soit éclairé par des rayons parallèles h une droite (R, R') : son ombre sur le plan horizontal sera le même cercle AB qui tournera autour de son centre 0, pendant que ce point s'avancera sur la droite Ox parallèle à R.

Lorsque le cercle AB aura achevé une révolution en s'élevant, l'ombre 0, de son centre sera parvenue en D, et le point de contact du cercle d'ombre avec la droite Aa parallèle à R aura atteint la position C, après avoir décrit sur le cercle la circonférence entière et sur la droite le segment AC. Eu égard aux sens des mouvements, si ces longueurs sont égales, c'est-à-dire si l'on a

0D= 27TXOA,

le cercle d'ombre aura roulé sans glisser sur la droite Aa. Quand cette condition est remplie, l'ombre que projette sur le plan horizontal l'hélice engendrée par le point (A, A') du cercle est la courbe décrite par le point A delà circonférence AB, lorsqu'elle roule sur la droite Aa.

Nous appelons 7 l'angle que les rayons de lumière font avec le plan horizontal, /•le rayon du cercle AB, et H la hauteur qui correspond à une révolution, ou le pas de l'hélice ( AB, A' A") : l'équation ci-dessus devient

Hcoty = 27:r; ou, en introduisant le pas réduit h,

Acoty = r.

En se reportant a la première des équations(iZw), on voit que la condition consiste on ce que les rayons doivent avoir la même inclinaison sur le plan horizontal que les tangentes a l'hélice.

On appelle cycloïde la courbe engendrée par un point d'un cercle qui roule sur une droite sans glisser; nous pouvons donc énoncer ainsi le théorème que nous venons de démontrer : La projection oblique d'une hélice sur un plan perpendiculaire à son are est une cycloïde , lorsque les projetantes ont la même inclinaison sur