CHAPITRE I. - THÉORIK GÉNÉRALE. I \(y

ce plan que les tangentes à l'hélice. On voit encore que toute cycloïde est l'ombre d'une hélice pour une direction donnée de rayons parallèles.

Une cycloïde AC a des rebroussements aux points A et C, où elle rencontre la droite de roulement Aa, car ces points sont les ombres de ceux de l'hélice où la tangente est parallèle aux rayons de lumière (art. 217).

955. Quand les rayons de lumière ont une inclinaison différente de celle des tangentes a l'hélice, on peut déterminer sur Le rayon OA {fig* 370) une longueur OP ou g qui satisfasse à l'équation

g=zhcoiy.

Le point P, étant entraîné dans le mouvement du cercle, engendrera unehélice dont l'ombre sera la cycloïde décrite par. le même point P, lorsque le cercle dont le rayon est OP roule sur sa tangente P/i. Les cercles AB et PK étant d'ailleurs supposés former un système invariable, on voit que l'ombre de l'hélice décrite par le point A est la courbe que ce même point engendre lorsque le cercle PK roule sur sa tangente Pp.

Quand un cercle roule dans un plan sur une de ses tangentes, la courbe décrite par un point du plan entraîné dans le mouvement est appelée cycloïde raccourcie ou cycloïde allongée, suivant que le point est dans l'intérieur ou à l'extérieur du cercle. Nous pouvons donc dire que la projection oblique d'une hélice sur un plan perpendiculaire à son axe est une cycloïde raccourcie ou allongée, suivant que les projetantes sont plus ou moins inclinées sur ce plan que les tangentes à l'hélice(>).

Pour construire le rayon g du cercle générateur, nous prenons une hauteur A" G égale au quart du pas A' A", puis menant du point G une horizontale et du point A" un rayon de lumière A"C, nous obtenons le segment GP égal à jHcoty. Nous portons sur la tangente Bb une longueur BJ égale au quart de cercle BE : l'angle BOJ a* pour tangente ±n. Nous projetons P en I, et I en K : le segment OK est le rayon cherché. La grandeur de l'angle BOJ est 57°3i'6". Cette construction revient, en ce qui concerne le pas réduit A, aux tracés indiqués à l'article 950, mais nous n'avons opéré que sur le quart de la circonférence et le quart du pas.

Quand les projetantes sont verticales, le rayon OP du cercle mobile est nul, et la cycloïde allongée se réduit au cercle AB.

(l) Ce théorème et le précédent sont dus à GuiUery. Voir une communication de Th. Olivier à la Société Philomathique, 1847.

I 20 LIVRE I\. — SURFACES HELICOIDES.

Surfaces hélicoides. — Hélicoides réglés.

956. On appelle surface hélicoïdale, ou simplement hêlicoïde, la surface lieu des hélices qui ont un axe commun et un même pas, et qui passent par les différents points d'une directrice. On peut regarder cette surface comme engendrée par la directrice qui tourne autour de l'axe d'un mouvement uniforme, et qui a en même temps un mouvement uniforme de translation parallèle a la direction de cette droite ; car, si l'axe est supposé vertical, les augmentations des hauteurs des points de la courbe sont proportionnelles aux accroissements de leurs azimuts; ces points décrivent par suite des hélices ayant un axe commun et un même pas : on dit qu'ils ont un même mouvement hêlicoïde.

Nous voyons que la courbe que nous avons prise pour directrice peut être considérée comme une génératrice. Elle est appelée méridienne quand elle est plane et que son plan contient l'axe. Un hêlicoïde est déterminé quand on connaît Taxe, le pas des hélices et une directrice.

Lorsqu'une surface se meut de manière que ses différents points décrivent autour d'un axe des hélices de même pas, son enveloppe est un hêlicoïde, car deux enveloppées consécutives ont toujours les mêmes positions relatives, et par suite la caractéristique est une courbe déterminée et invariable sur l'enveloppe.

Une surface hêlicoïde est coupée suivant des hélices par tout cylindre de révolution ayant le.même axe qu'elle.

957. Lorsque la directrice que doivent rencontrer les hélices est une droite (BC, B'C') {Jig. 376), cette ligne pouvant être considérée comme une génératrice, la surface est un hêlicoïde réglé. L'hélice qui passe au pied (A, A') de la commune perpendiculaire à la génératrice rectiligne et à l'axe est appelée hélice de gorge : sa distance à Taxe est la plus petite, et par suite l'angle de ses tangentes avec le plan horizontal est le plus grand.

Si Ton considère sur la génératrice un segment déterminé B'C, et qu'on mène par le pointC une verticale et parle point B' une horizontale, on aura un triangle rectangle C'C, B'qui sera le même dans toutes les positions de la droite (BC,B'C), car les points de cette ligne s'élevant de quantités égales, le coté CC\ conservera la même longueur. L'angle C'B'C, que la génératrice forme avec le plan horizontal est donc constant, et par suite le cône directeur d'un hêlicoïde réglé est de révolution .

9o8. En tout point de la surface il passe une hélice ; le plan tangent contient la tangente à cette courbe et la génératrice. En un point (M, M') {Jig. 37G) la tangente à l'hélice a pour projection horizontale la perpendiculaire MT au rayon OM; le plan tangent contient donc deux droites dont les projections hori-