CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE. 1 2 I

zontalesMT et BC sont différentes, et par suite il n'est pas vertical. Au point (A, A') la tangente a l'hélice et la génératrice se projettent sur BC; par conséquent, si ces droites sont distinctes dans l'espace, le plan vertical BC sera tangent en (A, A'), et l'hélicoïde aura deux plans tangents différents aux points (A, A') et (M, M') d'une même génératrice; cette surface sera donc gauche.

On a un hélicoide dèveloppabk lorsque la génératrice est tangente k l'hélice de gorge, car la surface est alors le lieu des tangentes à une courbe gauche. Pour que cette circonstance se présente, il faut que l'on ait

h cota = by

h étant le pas réduit commun des hélices, a l'angle de la génératrice avec le plan horizontal et b le rayon du cylindre sur lequel l'hélice de gorge est tracée (').

Ligne de striction de V hélicoide gauche. — Paramètre xV une génératrice.

939. Nous savons que le plan tangent à une surface gauche, en un point situé à l'infini sur une génératrice donnée, est parallèle au plan tangent au cône directeur le long de la génératrice correspondante (art. 615). Cette proposition va nous permettre de déterminer le point central d'une génératrice d'un hélicoide gauche.

Soient (0, O'Z) Taxe de la surface {fig. 377), (EF, E'F) l'hélice de gorge et ( AG, A' G') une génératrice parallèle au plan vertical : nous prenons le cercle EF pour trace horizontale du cône directeur, et nous déterminons la position S que le sommet de ce cône occupe sur l'axe, en menant la droite E'S parallèle à G' A'.

(*) Dans un Mémoire sur les hélic.oïdes réglés {Bulletin de l'École de Clu/tjr, 1877), j'ai proposé, pour la brièveté, de remplacer les expressions surface de la vis h filets triangulaires, surface de la vis à filets carrés, par celles-ci, hélicoïde aigu, hélicoïde droit. M. Jules de la Gournerie m'a exprimé l'intention de modiQer la première de ces dénominations, et de les généraliser.

Soient une hélice directrice d'un hélicoïde réglé, d'axe OZ; la tangente CB à l' hélice en un de ses points C; uno génératrice CA de l'hélicoïde, CA étant située dans le plan tangent P enC au cylindre sur lequel est l'hélice; par suite celle-ci est X hélice de gorge; nous nommerons le cylindre qui la contient cylindre dégorge. Appelons s l'angle de CA avec CB.

Lorsque 1 est nul, 1 hélicoïdo ongondré est X hélicoïde développable .

Supposons que CA tourne autour do C dans le plan P; dans une position, CA est perpendiculaire à CB, et dans une autre, à OZ; d'où il résulte trois espèces d'hélicoïdes réglés que nous proposons de nommer hélicoïde général oblique, hélicoïde gêné ml droit, hélicoïde général à plan directeur.

Lorsque le rayon du cylindre de gorge devient nul, lo premier est la surface de la vis à filets triangulaires, les deux autres donnent la surface de la vis à filets carrés. Ces deux dernières expressions pourraient donc être avantageusement remplacées par les dénominations suivantes : hélicoide oblique, hélicoïde droit. (E. L )