CHAPITRE 1. - THÉORIE GÉNÉRALE

Mais EOt est l'angle dont chaque point de la génératrice tourne autour de Taxe, pendant qu'il s'élève de la hauteur A'^; on a donc

et par suite

Nous avons d'ailleurs la relation (art. 958)

(5) tang/3 = £;

la formule (4) peut donc être remplacée par une des suivantes :

(6) X-, = h — b tanga,

(7) A, = i(tangj5- tanga).

Nous savons que la surface est développable quand les angles a et /3 sont égaux (art. 958); la formule donne alors pour k{ une valeur nulle, comme cela devait être.

Les valeurs de A, 6, g et /3 sont constantes pour un hélicoïde, et par suite toutes les génératrices ont le même paramètre. Il était facile de prévoir ce résultat, car deux génératrices consécutives ont toujours les mêmes positions relatives.

961. Les équations (4), (6) et (7) donnent simplement la grandeur absolue du paramètre, car nous n'avons fait aucune convention sur les signes des quantités qui entrent dans les seconds membres, et, en raisonnant sur la/tg. 377, nous les avons toutes indistinctement considérées comme positives. Nous allons présenter sur ce sujet quelques observations, qui n'offrent aucun intérêt pour les constructions que l'on déduit directement de la considération des hélicoïdes, mais qui sont indispensables pour l'interprétation des formules.

Lorsque le point qui décrit une hélice s'élève, il tourne vers la droite ou vers la gauche d'une personne qui serait placée sur l'axe du cylindre et qui regarderait ce point. L'hélice est dexirorswn dans le premier cas et sinistrorsum dans le second. Nous avons en général représenté les hélices sinistrorsum, parce que ce sont celles que l'on trouve dans les vis qui sont le plus souvent employées.

Nous mesurerons les ordonnées positives de bas en haut et les azimuts positifs de droite à gauche, de manière que l'azimut du point A (Jig. 377) soit donné par l'arc EA et égal à -f- 900. Alors le pas, ou la hauteur dont le point qui décrit

la courbe s'élève lorsque son azimut augmente de -h 36o°, est positif ou négatif suivant que l'hélice est sinistrorsum ou dextrorsum.

Nous considérerons en général le rayon h comme positif et cot/3 comme ayant le même signe que le pas: la formule (b = AcotjS) sera ainsi maintenue sans altération. Enfin cota aura le même signe que cot]3 ou un signe contraire, suivant que les angles aigus formés par l'hélice de gorge et par la génératrice avec le plan horizontal seront ou non tournés d'un même côté. Lorsque, pour généraliser les résultats d'une formule, nous donnerons au rayon b une valeur négative, la valeur correspondante de cot]3 devra avoir un signe contraire à celui du pas.

D'après cela, et eu égard à la disposition de la /g-. 377, les quantités b, h9 cota et cot/3 sont positives.

Si h était nul, la formule (G) donnerait pour k{ une valeur négative, mais alors la surface serait un hypcrboloïde de révolution, et la génératrice (AG, A' G') se trouverait dans la même position que la génératrice (aef a!ë) de \*fig> 3 12. Or nous avons vu à l'art. 727 que le paramètre de cette dernière est positif : la formule (G) donne donc à k% un signe contraire à celui qui résulte de nos conventions. Nous devons par suite considérer kt comme une quantité égale au paramètre, mais de signe contraire, et si nous appelons k ce paramètre luimême, nous aurons

(6 bis) k = b tanga — A,

(7 bis) k = 6(tanga — tang|3).

Par le point E' (Jig. 377), nous traçons une droite E'L parallèle à K'A' : le paramètre k est égal au segment LS que l'on considérera comme ayant son origine au point L, et qui, étant dirigé de haut en bas, sera négatif.

Hélicoïdes réglés applicables les uns sur les autres.

962. Nous supposons qu'on fasse varier a, b et h9 et nous allons chercher les relations qui doivent exister entre ces trois quantités pour que les hélicoïdes qu'elles déterminent puissent être appliqués les uns sur les autres.

Il faut d'abord que le paramètre des génératrices ne change pas (art. 775); on doit par suite considérer la quantité k comme constante dans les équations qui précèdent.

Il faut encore que, lorsque l'on aura placé deux hélicoïdes de manière qu'ils se raccordent le long d'une génératrice, et que l'on déformera le second, les éléments successifs de son hélice de striction viennent se placer sur l'hélice de