CHAPITRE II. - HÊLICOIDE DÉVELOPPABLE. f 3 I

les génératrices correspondantes du cône sont parallèles au plan sécant : nous considérerons seulement celle qui est projetée sur O/w.

Quand la génératrice GA du cône prend la position O/n, la génératrice parallèle BG de l'hélicoïde se place en nL et a sa trace en L. Le plan tangent à la surface le long de la droite (/*L, n'U) a pour trace la droite LH perpendiculaire a nL. L'asymptote, intersection du plan sécant et du plan tangent le long de la . génératrice nL, perce le plan horizontal au point H où se coupent les traces de ces plans; elle est d'ailleurs parallèle aux génératrices (Om, Sm') et (/iL, ri\J) du cône directeur et de la surface; il est donc facile de tracer ses projections HR et H'R'.

La droite nL est la projection d'une infinité de génératrices qui ont leurs traces aux différents points où /iL rencontre la développante indéfinie AV. A chacune d'elles correspond une branche infinie avec asymptote. La génératrice du cône directeur qui a sa trace en q fait trouver une autre série de branches infinies. On voit donc que, quand l'angle a des génératrices avec le plan horizontal est plus petit que l'angle Q du plan sécant avec le même plan, la section a deux branches infinies avec asymptotes, dans chaque partie de la surface qui correspond à une spire de l'arête de rebroussement.

Si l'angle a était égal à 0, le plan sécant serait parallèle à une génératrice et au plan tangent le long de cette droite; la section aurait par conséquent des branches paraboliques. Enfin, si a surpassait Q, la courbe n'aurait pas de branche infinie dans la partie qui correspond à une spire de l'hélice; elle se déroulerait indéfiniment comme une développante de cercle.

Si l'on suppose que le plan (P, P') se meuve parallèlement à lui-même, l'asymptote se transportera dans le plan tangent HL, et se confondra avec la génératrice nL quand la trace P passera par le point L. L'intersection se composera alors de cette génératrice qui est sa propre asymptote, et d'une courbe qui la rencontrera tangentiellement au point (n, n') (art. 449).

973. Seconde méthode applicable à toutes les surfaces d'égale pente. — Considérons une surface d'égale pente et un plan qui rencontrent respectivement le plan horizontal sous des angles a et Q. Soient (Jig. 386)

M la projection horizontale d'un point de leur intersection ; MT une génératrice de la développable; P la trace de cette surface ; El celle du plan sécant.

Le plan tangent le long de la génératrice MT a pour trace la perpendiculaire TE à MT (art. 545); par suite la projection de la tangente en M à la courbe d'intersection estEM. D'ailleurs, si l'on abaisse la perpendiculaire Mî sur El, on

l32 LIVRE IX. - SURFACES HÉLICOIDES.

aura, en appelant Ç l'ordonnée verticale du point M de l'espace,

Ç = MI tango, Ç = MT tanga;

d'où

MT tangO MI ~" tanga*

974. Nous décrivons un cercle d'un rayon quelconque OD [fig. 387); par son centre 0 nous tirons une droite OF parallèle k IE, et nous prenons sur cette ligne un point F tel que l'on ait

OF __ tange^ OD "~ tanga'

Nous traçons ensuite le rayon OB perpendiculaire à la projection de la génératrice considérée MT, et nous joignons BF : les triangles TMI et FOB sont semblables (fig. 386 et 387), car les angles IMT et FOB sont égaux comme formés par des droites respectivement perpendiculaires (* ), et les côtés qui les comprennent sont proportionnels en vertu des équations qui précèdent. L'angle OFB est donc égal à l'angle ITM et par suite à l'angle IEM, car les angles MTE et MIE étant droits, les points E, T, I et M sont sur une circonférence. Nous voyons donc que la droite FB est parallèle à la tangente EM.

D'après cela, il est facile de construire la projection horizontale de la section et ses tangentes, quand le cercle auxiliaire est tracé et le point fixe F déterminé. Pour avoir le point M situé sur une génératrice TM, on trace les droites TE et OB qui lui sont perpendiculaires, puis la droite BF : la parallèle à cette ligne menée par le point E est tangente à la courbe au point M où elle rencontre TM. On peut, en faisant la construction en ordre inverse, déterminer le point de l'intersection où la tangente est parallèle à une droite donnée.

Toutes les fois que l'angle 6 du plan sécant avec le plan horizontal sera plus grand que l'angle a de la développable, le point F se trouvera en dehors du cercle auxiliaire, et on pourra mener de ce point deux tangentes au cercle. Chacune de ces divergentes sera perpendiculaire au rayon correspondant; la tangente parallèle EM sera alors perpendiculaire à TE, parallèle à la génératrice TM, et par conséquent asymptote. Quand le point F est dans l'intérieur du cercle, la courbe d'intersection n'a pas de branche infinie, à moins que l'arête de rehaussement de la surface n'en ait elle-même (a).

(l) On place le point F arbitrairement d'un côté ou de l'autre du point 0, sur le diamètre parallèle à IE. La condition de l'égalité des angles IMT et FOB montre de quel côté du centre 0 on doit ensuite tracer le rayon OB.

(') Cette construction nous a été communiquée parBour pour l'hélicoïde développable. M. Mannheim a remarqué qu'elle s'étendait à togtet \m p> "d'égale pente.