CHAPITRE II. - HÉLICOIDE DÉVELOPPABLE. l

975. Pour appliquer commodément cette construction à l'hélicoïde développable, nous supposons que les plans de projection ont été choisis de telle manière que la trace horizontale EO' du plan sécant (EO', O'M') passe par le centre 0 du cercle OC projection de l'arête de rebroussement {fig. 388), et soit perpendiculaire à la ligne de terre.

Nous prenons le cercle OC pour cercle auxiliaire; le point fixe F est alors sur la trace O'E du plan. Pour le déterminer, il suffit de tracer la parallèle C'K à la trace verticale CM' du plan sécant jusqu'à la projection O'Z de l'axe, et ensuite la droite KF', faisant l'angle a avec XY : la longueur OF est égale au segment of;.

Sur notre figure le point F est extérieur au cercle ; il en résulte que l'intersection a deux branches infinies dans chaque partie de la surface qui correspond à une spire de l'hélice de rebroussement. Les projections des asymptotes sont alternativement parallèles aux tangentes Vb et Fbt. Nous en avons construit deux de chaque série.

Les points tels que n, où les différentes branches de la courbe se coupent, appartiennent aux hélices doubles (art. 967).

L'application de ce procédé, à la détermination des sections planes du cône de révolution et des surfaces d'égale pente étudiées dans le VIe Livre, donne lieu à des exercices graphiques intéressants.

Hélicoïde développable déterminé par deux hélices directrices.

976. Les cercles Ae/B [fig* 392) étant les projections de deux hélices de même pas et de même sens dont les traces sont aux points a et b, on demande de déterminer un hélicoïde développable auquel ces courbes appartiennent.

Nous décrivons les développantes aG et bG traces des développables dont ces hélices sont les arêtes de rebroussement; de l'un de leurs points d'intersection G nous menons les tangentes Gm et G/i, et nous joignons les points de contact m et n. Les hélices étant de même pas et de même sens, les points m et n de l'espace peuvent se transporter sur ces courbes d'un même mouvement hélicoïde, et alors la droite mn décrira un hélicoïde réglé. Cette surface est d'ailleurs développable, car les tangentes aux directrices aux points m et n d'une génératrice se rencontrent au point G (').

On obtient le rayon du cercle projection de l'arête de rebroussement, en abaissant une perpendiculaire du centre o sur mn.

0) Cette construction est due à Th. Olivier [Développements de Géométrie descriptive).

l34 LIVRE IX. - SURFACES HÉLICOIDES.

Développement de Vhélicoïde.

977. L'hélice étant une ligne géodésique du cylindre sur lequel elle est tracée, tous ses plans osculateurs sont normaux à cette surface. Les rayons principaux du cylindre sont d'ailleurs l'un infini, l'autre égal à r; par conséquent, si l'on appelle p le rayon de courbure de l'hélice en un point, le théorème d'Euler donne immédiatement

Jusqu'à présent nous avons surtout considéré la courbure des sections planes des surfaces; mais, ainsi que nous l'avons déjà remarqué (art. 797), les théorèmes relatifs aux rayons de courbure peuvent être étendus aux courbes gauches. La grandeur d'un rayon de courbure est en effet déterminée par les positions relatives de trois points infiniment voisins de la courbe; le plan qui contient ces trois points est celui de la courbe si elle est plane, et simplement son plan osculateur si elle est gauche (a).

Les grandeurs r et |3 sont les mêmes pour tous les points de l'hélice; le rayon de courbure p est donc constant. 11 suit de là que, dans le développement d'un hélicoïdc développable, la courbe plane transformée de l'arête de rebroussement a tous ses rayons de courbure égaux à p (art. 475), et que par conséquent c'est un cercle dont le rayon est p.

978. Il n'est pas nécessaire de recourir au théorème d'Euler pour obtenir la formule que nous avons trouvée à l'article précédent. Nous remarquerons d'abord que deux arcs de même longueur d'une hélice sont évidemment superposables, et que par conséquent le rayon de courbure de cette ligne en ses différents points est constant, ainsi que celui de sa transformée (art. 475).

Considérons sur l'hélicoïde deux génératrices A et B tangentes à l'arête de rebroussement en des points qui comprennent une demi-spire; appelons p le rayon de la circonférence transformée de cette courbe, et désignons par a et b les génératrices du cône directeur respectivement parallèles à A et à B. Les droites a et b sont dans un plan qui contient l'axe du cône.

(!) Cetto formule est applicable à uno courbe quelconque et à sa projection sur un plan parallèle au rayon do courbure.

(*) Les formules démontrées dans la Note do l'art 8C1 permettent de trouver facilement, pour un point de l'hélice, l'expression du rayon de courbure et la position du plan osculateur; car 6' est nul, r' est infini et B égale 900, si l'on prend le plan horizontal perpendiculaire à Taxe de l'hélice, et le plan vertical parallèle à la tangente à cette courbe au point conféré. (E. L. )