CHAPITRE II. - HELICOIDE DEVELOPPABLE

La longueur d'une demi-spire est — s (art. 949). Les génératrices A et B

comprennent donc après le développement un angle égal a — - — 5-

Si nous supposons le cône directeur placé de manière à avoir pour trace horizontale la projection de l'arête de rebroussement, les génératrices a et b perceront ce cercle en deux points distants d'une demi-circonférence nr. Dans le développement du cône, la trace de cette surface a pour transformée un arc de cercle

dont le rayon est -^- L'angle que les droites a et b font après le développement

est donc égal à n cos/3 (art. 167)^^-1 T?~rT J

Quand la surface et le cône sont dévelap^yies droites A et B d'une part, a et b de l'autre, comprennent encore des angles égaux (art. 481); nous avons par conséquent

7T cos/3 =

pcosp

ou p =

cosfp

La génératrice AV du cône directeur (fig. 389) est égale à — ^; donc, en élevant à A'o' en o' la perpendiculaire o'a>', nous déterminerons un segment A'o>' qui sera égal à p (').

979. Si nous voulons faire le développement de la partie de la surface qui correspond à une demi-spire (ADG, A'D'G') de l'arête de rebroussement (fig. 389), nous tracerons deux droites rectangulaires M'g* et g" G" respectivement égales à la demi-circonférence AG et a la moitié du pas; l'hypoténuse A" G" sera la longueur de la demi-spire de l'hélice; nous la porterons sur une circonférence décrite avec un rayon ««D, {fig. 390) égal à AV [fig. 389), et nous obtiendrons l'arc A, G,, transformée de la partie (AG, A'G') de l'arête de rebroussement.

La longueur d'une spire de l'hélice est égale à — ^> et par suite à la circonférence dont le rayon est — a ou AV. En rectifiant la moitié de ce cercle, on ob-

J cos p '

tient directement la longueur A'G".

Une spire occupe sur le cercle de la transformée de l'hélice un arc dont le rapport à la circonférence est

\cospy

2TZp

rfD

Eu égard à la vaîétrr de p, cetté^upression est égale à cos/3 ou à -rrry {fig- 389). On peut, en mesurant ces deux longueurs, calculer l'amplitude de l'arc A, G,.

( 1 ) Nous devons à M. Mannhoim la détermination de la valeur de p par la considération du cône directeur.

La transformée A,^ de la développante kg est une développante du cercle A, G, (art. 473). On peut par cette considération obtenir la formule de l'art. 977, en supposant connue l'équation aux arcs et aux rayons de courbure de la développante de cercle (l).

980. Les transformées des diverses hélices de la surface sont des cercles concen» triques; car, pour avoir l'une d'elles, il faut porter une longueur constante sur chaque génératrice, à partir du point où elle touche le cercle dans lequel se change l'arête de rebroussement.

Si l'on veut avoir la transformée de l'arc d'hélice projeté sur le segment/ww (fig. 38q), on portera sur la tangente D,rf, [fig. 390) une longueur Dimi égale à Dm'; la courbe cherchée sera l'arc de cercle passant par le point mK et ayant son centre au pointu,. Nous n'avons pas représenté sur ïa^. 389 la projection verticale de cette hélice par crainte de confusion.

Nous savons que le rayon de courbure de l'arête de rebroussement n'est pas altéré par le développement (art. 475). Les rayons de courbure des autres hélices ne sont pas ceux des cercles de leurs transformées.