POINTS ET LIGNES DE CONSTRUCTION HORS DU CADRE DE L ÉPURE

Réduction d'échelle.

65. Le but de la Géométrie descriptive étant de résoudre des problèmes d'application» il est nécessaire que les tracés soient appuyés sur des lignes et des points situés dans le cadre de l'épure. Lorsqu'un point utile se trouve éloigné, on ne doit pas aller le chercher sur une seconde feuille placée près de la première. Cet artifice ne présente jamais d'exactitude et serait d'ailleurs impossible dans les applications sérieuses, par exemple en Stéréotomie, où l'on opère sur des aires limitées.

Nous avons déjà indiqué, pour lever cette difficulté, divers procédés spéciaux à quelques problèmes; à l'article 49 nous avons exposé une construction qui est souvent employée, celle du déplacement de la ligne de terre; il nous reste à traiter la question d'une manière générale» et à faire connaître quelques tracés utiles.

66. On peut toujours, par une réduction d'échelle, faire rentrer les lignes et les points éloignés dans le cadre de l'épure. Lorsque le tracé est terminé, on reporte la solution sur la figure primitive.

Supposons que par le point de rencontre éloigné des droites B et C {fig. 5i) on doive élever une perpendiculaire à B, et du point où elle coupe la droite A abaisser une perpendiculaire sur D.

Il suffit de réduire les dimensions de la figure au tiers pour en obtenir une autre {fig. 5i bis) sur laquelle la construction puisse être faite. La droite cherchée e est ensuite reportée en E [fig. 5i). Les lignes des deux figures sont parallèles.

Nous avons construit une figure entièrement distincte de la première, mais généralement on prend un point de celle-ci pour centre commun de similitude, de manière à utiliser pour la seconde les droites qui y passent. Si l'on avait choisi le point M, les lignes B et D eussent appartenu a la figure réduite. Quand on connaît un point de la droite cherchée, il est avantageux de le prendre pour centre de similitude; on trouve la ligne dans la position même qu'elle doit occuper.

CHAPITBE III. — LIGNES ET POINTS ÉLOIGNÉS. a5

Le compas de réduction est d'un usage très-commode pour la construction que nous venons d'indiquer. On ne doit employer cet instrument qu'avec beaucoup de soin quand il s'agit d'obtenir une fraction déterminée d'une longueur, mais ici la grandeur du rapport de réduction n'a aucune importance.

67. Quelques-unes des constructions que nous avons exposées dans le chapitre précédent pour des points éloignés sont de véritables réductions d'échelle ; ainsi à l'article 27 nous avons déterminé l'intersection de deux plans dont les traces horizontales ne se rencontrent pas sur la feuille de dessin, en diminuant dans un même rapport les lignes 6R et 6 S (fig. 23 ), de manière à obtenir un triangle rgs semblable à celui que forment les traces P et Q avec la ligne de terre. Le centre de similitude est le point connu b de la droite cherchée.

Cette construction ne serait pas applicable sur la figure 5a, parce que les traces des plans (P, P') et (Q, Q') ne se rencontrent que très-loin sur les deux plans coordonnés. Nous avons pris le point R pour centre de similitude, puis réduisant RS au cinquième, nous avons transporté le plan (Q, Q') parallèlement à lui-même en [q, q*). Après avoir obtenu l'intersection (a, a')> nous l'avons reportée dans sa véritable position (A, A') en prenant RB et QC quintuples de Rô et de Rc.

Constructions diverses.

68. Tracer une droite qui passe par un point donne et par le point éloigné où deux droites données se rencontrent.

Soient Aie point, P et Q les droites (fig. 53). Nous construisons le triangle ABC dont un sommet est au point A, et les deux autres sur les lignes données, puis nous traçons bc parallèle à BC, et par les points b et c nous menons des parallèles à BA et CA; leur point de concours a appartient k la droite cherchée, car les deux triangles étant homothétiques, c'est-à-dire semblables et semblablement placés, les droites qui passent par les points homologues concourent vers un même point qui est le centre de similitude (i).

On tracera généralement la droite BC parallèle à la ligne du cadre de l'épure, de manière que bc puisse être formé par un segment de cette ligne; mais la condition

(t) Nous supposons que ce théorème est connu du lecteur ; il est du reste très-facile de le démontrer. Appelons lot J les points où la droite A a rencontre les lignes P et Q; les triangles lab} lac respectivement semblables à IAB et JAC donnent

al __ ab al __ ac

ka + al~M' AflH-ûrJ""ÂC-

Les seconds rapports sont égaux, vu la similitude des triangles ABC et abc\ les longueurs AI et AJ sont donc aussi égales, et par suite les points I et J se confondent.

*6 LIVRE Ier. — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

essentielle b laquelle il faut satisfaire, c'est que les diverses intersections se fassent sous des angles assez ouverts.

09. Abaisser une perpendiculaire sur une droite R, du point éloigné r>à deux droites P et Q se rencontrent {fig. 54 ).

Des points a et b où la droite R coupe les lignes P et Q, nous abaissons des droites respectivement perpendiculaires sur Q et P ; leur point de rencontre cappartientà la perpendiculaire cherchée. On sait, en effet, que les trois perpendiculaires abaissées des sommets d'un triangle tel que PQR sur les côtés opposés concourent vers un même pointe. La perpendiculaire abaissée de ce point sur R est donc la ligne cherchée.