OT=+OA

En donnant à OA la grandeur du rayon r, on a une construction par un seul cercle et un point fixe. Le cercle esl le môme que dans la construction de Poncelet; on voit par l'équation précédente que le point fixe est à une distance du point 0 égale à OP : c'est Pt ou Pj.

En combinant la construction qui précède avec celle de Poncelet, nous avons obtenu le tracé suivant, qui est le plus expéditif, et celui qui donne lo plus de précision aux résultats. On décrit les cercles qui ont PPi et FFt pour diamètres (Jîg. 402); on mène ensuito du point P! des divergentes : uno de ces lignes rencontre lo premier cercle au point I, ot le second aux points K et/*. On trace les droites PI, OK et 0/ : les points M et m où les deux dernières lignes rencontrent la première appartiennent à la courbe.

(t) Ce dernier raisonnement suppose implicitement que l'axe n'est pas tangent à la courbe d'ombre; mais Taxe est une asymptote do l'indicatrice on chacun do ses points; s'il était tangent à la courbe, il serait un rayon de lumière, et l'on voit facilement que la projection horizontale de la ligne d'ombre se réduirait à un point.

997. On peut modifier la construction de l'art. 995 de manière à obtenir les points qui sont sur un cercle projection de deux hélices situées, Tune sur la nappe inférieure, l'autre sur la nappe supérieure.

Supposons que nous cherchions le point M situé sur le cercle MM, (Jig* 4°*) : le rayon OM doit être perpendiculaire au rayon OQ de l'un des points où la divergente PM rencontre le cercle auxiliaire. Si tout ce système tourne autour du point 0, jusqu'à ce que le point cherché M soit sur Taxe OY en G, le point Q viendra en F, la droite QM prendra la position FG que nous pouvons tracer, et P sera transporté au point n où cette ligne rencontre le cercle décrit du point 0 comme centre avec OP ou g pour rayon; enfin OP se confondra avec On et le point G viendra en m. La longueur de l'arc mG est donc égale à celle de l'arc inconnu GM, et il est par conséquent facile de trouver le point M. Le point m appartient d'ailleurs lui-même à la courbe, parce qu'elle est évidemment composée de deux parties symétriques par rapport à OY.

En opérant sur le second point de rencontre N, de la droite FG avec le cercle P//, on trouve les points M, et m, qui appartiennent, eux aussi, à la courbe; car, si l'on amène qK en F, les points mt9 P et G prendront respectivement les positions G, N, et M,.

En résumé, pour faire la construction, on se donne le cercle PN, n et le point F, puis on décrit le cercle Mm sur lequel on veut déterminer des points appartenant à la courbe. Ce cercle rencontre la droite OY en G : on trace la droite FG et ensuite les lignes On et ON, qui font connaître les points m et M,. Les points M et mt sont déterminés comme symétriques; du reste, la construction les donnerait directement si l'on remplaçait soit le point F par le point F,, soit le point G par le point g.

Le point M correspond au point Q, et par suite la branche de la spirale d'Arrhimède sur laquelle est la trace de la génératrice OM s'étend du côté indiqué par la direction OQ (art. 991 ). D'après cela, et sans avoir besoin de revenir a la première construction, on reconnaît facilement que le point M est sur la nappe supérieure. Des trois autres points du cercle M/w qui appartiennent à la courbe d'ombre, un autre m, est également sur la nappe supérieure; les deux derniers M, et m sont sur la nappe inférieure. Chacun d'eux considéré sur le plan est la projection d'un nombre infini de points de la courbe d'ombre; car, si Ton suppose la surface divisée en parties qui correspondent aux différentes spires de l'hélice directrice, leurs lignes d'ombre seront évidemment identiques et auront une même projection.

998. En se reportant aux valeurs de^cl de r, on voit que, suivant que les rayons de lumière sont plus inclinés, aussi inclinés ou moins inclinés que les génératrices de la surface, le point fixe P se trouve en dehors du cercle auxiliaire dont le rayon est r, sur ce cercle ou dans son intérieur. Quand les rayons sont