CHAPITRE III. - SURFACE DE LA VIS A FILETS TRIANGULAIRES. 1 4 ç

horizontaux, le point fixe est à l'infini. De ces quatre dispositions résultent pour la courbe autant de formes différentes que nous allons examiner successivement.

Cas où les rayons de lumière font avec le plan horizontal un angle plus petit que celui des génératrices. — Lorsque les rayons de lumière sont plus inclinés que les génératrices, le point P est en dehors du cercle auxiliaire FF, (fig. 4°i)î alors, si l'on suppose que la divergente PQ tourne de manière que les points Q etQ, se rapprochent, les points M et M, qui leur correspondent s'éloigneront de s, et, quand les points Q et Q, seront confondus en H, les points M et Mf se trouveront réunis a l'infini, et la droite qui passe par les points P et H sera une asymptote (art. 92). Il résulte de ces considérations que la courbe a deux branches infinies dont les asymptotes sont les tangentes PË et Ve (fig. 402), menées du point P au cercle dont le rayon est r.

Nous avons indiqué sur \nfig. 402 les parties de la courbe qui sont sur la nappe inférieure et celles qui se trouvent sur la nappe supérieure, en supposant que les génératrices s'élèvent en tournant autour de l'axe, dans le sens indique'* sur l'àjtg. 4OI«

999. Cas où les rayons de lumière sont moins inclinés que les génératrices. — Lorsque les rayons sont moins inclinés que les génératrices de la surface, le point P est dans l'intérieur du cercle auxiliaire YY{(fig. 398). Aucune divergente ne pouvant toucher ce cercle, la courbe n'a pas de branche infinie.

Pour avoir la grandeur OK du plus grand rayon vecteur OH, il suffit de mener du point F une tangente FK au cercle OP. On reconnaît, en effet, par la construction de l'art. 997, que la courbe n'a pas de points sur les cercles dont le rayon est plus grand que OK.

Les points où le cercle limite OK touche la courbe sont situés sur les rayons OXet OX, des points de tangence. Ils appartiennent aussi à la droite PS parallèle à OX. Pour le prouver, considérons cette ligne PS comme une divergente, traçons le rayon 0<p et élevons la perpendiculaire OHl ; les triangles rectangles FOK et <pOH, sont égaux, car il y a une égalité d'une part entre les cotés OF et Op, de l'autre entre les perpendiculaires OX et OP; le rayon vecteur OH, est donc égal à OK, et le point H, de la courbe est sur le cercle limite.

Nous n'avons pas tracé le cercle diamétral sur layîg-. 398, parce qu'il y eut produit un peu de confusion.

1000. Cas où les rayons de lumière ont la même inclinaison que les génératrices. Lorsque les angles a et 7 sont égaux ou supplémentaires, le point P est sur le cercle FF, {fig. 400); des deux points où une divergente PQ coupe ce cercle, le second seul est variable : le premier P fait trouver un point M, de l'axe OX.

Cette droite appartient donc à la projection complète de la ligne d'ombre, ce qu'il était facile de prévoir, car la surface a des génératrices parallèles aux rayons et qui se projettent sur OX.

I jo LIVRE IX. — SURFACES HELICOIDES.

Le point M donné par le second point d'intersection Q s'éloigne à l'infini, dans la direction de l'axe OX, lorsque la divergente est la droite Vx tangente au cercle auxiliaire; la courbe proprement dite a donc une branche infinie. La considération du cercle diamétral (art. 996) va nous permettre de déterminer l'ordonnée OY de son asymptote EE4.

Le points, où la divergente PQ rencontre le cercle décrit sur OP comme diamètre, est le milieu du segment MM4 ; sa distance à l'axe OX est donc la moitié de la distance du point M à cet axe. Lorsque le point Q arrive en P, l'ordonnée du point s devient OP, et l'ordonnée OY du point situé a l'infini est double de OP.

1001. Il résulte de la construction même que les droites qui joignent au point double P les deux points M et m, correspondant à un même azimut, sont à angle droit.

Les triangles rectangles mOq et QOM sont semblables, car les angles en q et en M ont leurs côtés respectivement perpendiculaires; ils donnent

OmxOM = r*.

Le rectangle des deux rayons vecteurs qui correspondent à un même azimut est constant.

Les triangles PCM et POy sont semblables parce qu'ils ont leurs côtés respectivement perpendiculaires; le premier est donc isoscèle comme le second, et par suite les segments PC et CM sont égaux. On trouve de même que les longueurs PC et Cm sont égales. On peut donc construire la courbe par points en traçant des droites qui divergent de l'origine 0, et en prenant sur chacune d'elles, à partir du point C, des longueurs Cm et CM égales à PC ( ' ).

1002. Cas où les rayons de lumière sont horizontaux. — Lorsque les rayons de lumière sont horizontaux, c'est-à-dire perpendiculaires à Taxe, le point fixe P doit être considéré comme s'étant éloigné à l'infini. Cette circonstance simplifie les constructions qui ont été expliquées aux articles 995 et 997; ainsi, pour avoir le point situé sur la droite PP perpendiculaire a l'axe des abscisses

(') La ligne que nous avons étudiée dans les articles 1000 et 1001 est appelée quelquefois strophoïde : c'est une variété de la 4'* espèce des courbes du troisième ordre dans la classification de Newton (4^e d'après Stirling). Elle appartient à la famillo des hyperboles défeclives qui ont un diamèlre.

En appliquant à cette courbe la construction par le cercle FFi et le point Fi (art. 993, note), on reconnnaît que la droite QM est perpendiculaire à FiN.

On trouve par les procédés du Calcul intégral que l'aire comprise entre un arc O/w et sa corde est égale à celle du trianglo NFiL, formé par les tangentes au cercle auxiliaire aux points N et Ft, et par l'arc NFt de ce cercle.

La strophoïde possède plusieurs propriétés assez remarquables qui résultent des théorèmes généraux relatifs aux courbes du troisième ordre.