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(*) Quand les points P et Pi s'éloignent à l'infini, le cercle POPi (fig. 402) se transforme on une droite BBi {fig. 397) inclinée à 45 degrés sur Taxe OF. Alors, pour appliquer la construction qui est à la fin de la note de l'article 995, il faut d'un point I de BB| mener deux droites KKi et PP respectivement parallèles à OX et à OY, et ensuite tracer les droites KO et KiO : elles coupent la droite PP on des points M et Mt qui appartiennent à la courbe.

(*) M. Nicolaïdès a donné ce théorème, mais d'une manière moins générale. Son énoncé est celui-ci : L'aire comprise entre la courbe et les deux as) mptotes est égale au cercle (les Mondes, t. U, i863 ).

En i85i, dans notre Mémoire sur les hélicoïdes, nous avons établi le théorème démontré dans le texte, mais avec un énoncé un peu différent. Nous disions que l'aire comprise entre Tare OM et sa corde est égale à la surface du triangle mixtiligne CFK.

ou, en appelant p le rayon vecteur OM et w, l'azimut F,OM,

P cosfa)! ff -Hpsinfa)! m

r sino>, g — r costa/

on déduit de là

r^sinw,

r g cos w, — r

Enfin, si nous mesurons les azimuts à partir de Taxe OT, de manière que Ton ait

l'équation deviendra

r ^cosw + r

En introduisant les coordonnées ordinaires, on trouve que la courbe est du quatrième degré. Quand les paramètres r et g sont égaux en grandeur absolue, elle se décompose en une droite et une ligne du troisième ordre (Jig. 4oo).

Indicatrice. Points limites des parties réel/es des courbes d'ombre pour des rayons parallèles.

1004. Nous avons vu que la droite FP (Jig. 3y8) était tangente en P à la branche OPR, de la projection de la courbe d'ombre (art. 996). Nous savons d'ailleurs que la droite SP parallèle à OX est la projection d'un rayon de lumière, et que la génératrice OP est une des deux asymptotes de l'indicatrice pour le point P (art. 824). La seconde asymptote de l'indicatrice de ce point et la droite PO sont donc conjuguées harmoniques des lignes PS et PF. D'après cela, si on prend FD égale à la longueur OF ou r, la droite PD sera la seconde asymptote de l'indicatrice pour le point P considéré comme appartenant à la nappe supérieure ( ').

Si l'inclinaison des rayons change, le point P se déplace sur la génératrice OY, mais la projection de la seconde asymptote de l'indicatrice passe toujours par le point D; la verticale de ce point est donc une génératrice de Thyperboloïde osculateur le long de la génératrice OY (art. 825). On peut d'ailleurs opérer de la

(l) Toutes les fois que Ton connaît, pour un point d'une surface, deux tangentes conjuguées et une des asymptotes de l'indicatrice, on peut construire l'autre asymptote. Quand la surface est gauche, une de ces droites est la génératrice qui sera généralement connue ; par conséquent, lorsque, par quelque artifice, on aura déterminé la tangente à une courbe d'ombre pour une direction donnée de rayons, le problème do l'indicatrice se trouvera résolu.