CHAPITRE III. - SURFACE DE LA VIS A FILETS TRIANGULAIRES. I

même manière pour toute génératrice, en supposant la surface éclairée par des rayons qui soient perpendiculaires à cette droite en projection horizontale (').

Quelle que soit la génératrice que Von considère, si on lui élève à V origine 0 une perpendiculaire égale à 2r, du côté où s'étend la branche de la spirale d'Archimède sur laquelle est sa trace, l'extrémité de cette droite appartiendra aux projections des secondes asymptotes de l'indicatrice de ses différents points.

Il nous serait maintenant facile de construire la tangente à la projection horizontale de la courbe d'ombre en un point donné. Nous reviendrons plus loin (art. 1012) sur cette question, à l'occasion des tangentes à la courbe d'ombre dans le cas général des rayons divergents.

1005. Pour discuter la courbe d'ombre dans l'espace et voir quelles sont celles de ses parties qui sont réelles dans les différentes hypothèses que l'on peut faire, il est nécessaire de pouvoir se rendre compte de la position du plan tangent par rapport à la surface, en un point déterminé. On y parvient en supposant que l'hélicoïde se modifie jusqu'à devenir un cône.

Soient 0 la trace de l'axe (fig. 4*6), KV la branche de la spirale d'Archimède trace de la nappe inférieure de la surface, et M un point de cette nappe. Nous élevons au point 0 une droite OQ perpendiculaire a OM, et nous portons sur elle une longueur OD double du paramètre r : les droites MO et MD sont, en projection, les deux asymptotes de l'indicatrice du point M. Si Ton diminue le pas de l'hélicoïde jusqu'à le rendre nul, le'paramètre r deviendra nul aussi, le point D parcourra le segment DO et l'angle DMO des asymptotes de l'indicatrice se réduira à zéro. Mais alors l'hélicoïde sera un cône dont nous n'avons à considérer que la nappe inférieure; son plan tangent au point M sera entièrement au-dessus de lui : donc la partie de la surface qui était au-dessus du plan tangent est celle qui était projetée dans l'angle DMO, et dans celui qui lui est opposé au sommet.

1006. Les points limites des parties réelles de la courbe d'ombre sont ceux où la tangente à sa projection est parallèle à la droite OX(Jîg. 398). On trouve d'abord le point 0; mais, comme le plan tangent en un point de l'axe est perpendiculaire au plan de projection, on est ici dans le cas d'exception dont il a été question à l'art. 892. Lorsqu'à l'un des points de la courbe projetés en 0 le rayon de lumière est une asymptote de l'indicatrice, il se confond avec la génératrice de la surface et cette droite fait partie de la ligne d'ombre (Jig. 4oo). Il résulte de là que le point 0 considéré sur la courbe d'ombre proprement dite n'est jamais un point limite.

Soient R, (Jig. 398) un point limite, OR, son rayon vecteur et UR, la projec-

0) L'indicatrice étant connue, les théorèmes des articles 886 et 887 donnent immédiatement pour les asymptotes de la courbe d'ombre les positions que nous avons détorminées par d'autres considérations aux articles 998, 1000 et 1002.

tion du rayon de lumière qui y passe : ce rayon étant une asymptote de l'indicatrice, la droite OU perpendiculaire à OR, doit avoir une longueur égale à 2/\ et par suite on a

tangOR.U^^-.

L'azimut a> du point R, est l'angle DOR, supplémentaire à ORfU; l'équation devient donc, en appelant p le rayon OR,,

— tangb) = —

Éliminant p entre cette équation et celle de la courbe qui a été trouvée a l'art. 1003, on a

d'où

^COS2^ H- 2TC0S0) -f- g = O,

— r ± sjr% — s%