CHAPITRE HI. — SURFACE DE LA VIS A FILETS TRIANGULAIRES. l6l

Représentation d'une vis à filets triangulaires et de son écrou.

1018. Une vis à filets triangulaires se compose d'un noyau plein qui a la forme d'un cylindre de révolution, et d'un solide hélicoïde dont la génératrice méridienne est un triangle B'C^B', (fig. 407), placé de manière que sa base B'B', soit un segment d'une génératrice du cylindre. En général, le triangle est isoscèle et le pas des hélices que décrivent ses différents points est égal à la base B'B', (f). 11 résulte de là d'abord que les points B' et B\ se meuvent sur une même hélice, et ensuite que les surfaces de vis à filets triangulaires auxquelles appartiennent les zones engendrées par les droites B'C, et C\B\ oot un même paramétrer. Il peut arriver que ces zones appartiennent aux deux nappes d'une même surface.

Une vis a le plus souvent à l'une de ses extrémités une tête qui est un solide prismatique dont les bases sont perpendiculaires à son axe. Elle glisse en tournant dans un écrou, corps limité intérieurement aux surfaces hélicoïdes qui la terminent elle-même extérieurement.

Pour représenter une vis à filets triangulaires, on trace d'abord les projections horizontales et les projections verticales des deux hélices suivant lesquelles se coupent les deux faces du filet. Sur le plan vertical, nous avons limité ces hélices aux droites XY et S"U", qui représentent le plan de la face supérieure de l'écrou et celui de la face inférieure de la tête.

Le contour apparent sur le plan vertical est formé de lignes courbes, mais elles sont rapprochées de leurs asymptotes (art. 1016), et vu leur peu de longueur on peut les tracer comme des droites. On les obtient d'une manière suffisamment exacte en menant des tangentes communes aux arcs consécutifs des sinusoïdes qui forment la projection verticale des hélices d'intersection.

Ces deux courbes rencontrent le plan S"U" aux points (L, L') et (M, M'). Les deux faces du filet rencontrent le même plan suivant deux arcs de spirale d'Archimède qui vont du point L au point M.

Nous avons représenté l'écrou par une projection horizontale et par une coupe verticale : le plan sécant COE est méridien et parallèle au plan vertical {fig. 408). La ligne de contour apparent qui passe près des points B' et C, [fig. 407) est au delà du plan CD, elle appartient donc à la partie de la surface qui est conservée sur h fig. 4o8; mais cette courbe étant réelle sur la vis est nécessairement virtuelle sur l'écrou : nous ne l'avons pas tracée. Les demi-spires

(') On fait des vis à double et mémo à triple filet; le profil générateur est alors composé de deux ou de trois triangles égaux, et le pas est égal à deux ou à trois fois la longueur de leur base; quelquefois le filet est engendré par la révolution hélicoïde d'un trapèze <Jig. 406).

l62 LIVRE IX. - SURFACES HÉLICOIDES.

de l'hélice BD sont vues entièrement, celles de l'hélice CE sont cachées sur de très petites longueurs près des sommets C\ C'|f ... des angles rentrants, car les tangentes à leurs projections en ces points sont verticales.

La sinusoïde projection verticale de l'hélice CE rencontre la droite X, Y, en un point J', que nous ramenons en J sur la projection horizontale. Les deux arcs de spirale d'Archimède qui limitent les faces du filet à leur partie supérieure partent du point J et aboutissent au point A diamétralement opposé sur le cercle BD.

1019. Ombres propres de la vis. — Nous supposons maintenant la vis éclairée par des rayons parallèles à une droite (R, R') (fig. 407). et nous allons déterminer ses ombres.

Nous construisons d'abord la longueur Qri du paramètre r, et nous décrivons un cercle du point 0 comme centre avec ce paramètre pour rayon. Les tracés expliqués à l'art. 995 nous donnent ensuite le point fixe P : il doit être placé, par rapport à la projection du rayon de lumière qui passe par le point 0, d'un côté différent de celui où il se trouve sur la /g*. (\o\, car les hélicoïdes sont de même sens (sinistrorsum) et les rayons de lumière sont inclinés en sens contraire. Nous déterminons alors la courbe XOv . . ., çPOPt, projection horizontale de la ligne d'ombre, en ayant soin de construire directement les points situés sur les deux hélices qui forment l'arête saillante et l'arête rentrante des filets (art. 997). Chaque partie comprise entre les cercles CE et BD est la projection horizontale d'un arc de la ligne d'ombre de l'une des faces du filet. Des considérations analogues à celles que nous avons présentées à l'art. 1017 permettent de reconnaître à laquelle des deux faces appartient chacun des arcs, et font voir qu'ils sont tous réels.

Pour obtenir la projection verticale d'un arc réel, d'après sa projection horizontale, on relève les points extrêmes sur les hélices et on détermine un point intermédiaire en traçant d'abord la projection horizontale, puis la projection verticale de la génératrice à laquelle il appartient.

Ombre portée par la vis sur le plan horizontal. — On construit ensuite les ombres portées sur le plan horizontal par les différentes lignes de la vis. L'ombre de l'hélice saillante est la courbe YLr"kn"k{9 ...; nous savons que c'est une eycloïde allongée engendrée par le point K, quand le cercle dont le rayon est OP roule sur la tangente PPt parallèle à R (art. 955).

Les ombres des lignes v',^, X',/',, ty\ <p',, t'§' sont les arcs v", ;/,, ^x'i»'^?«' t '§", . . .; ils appartiennent a deux courbes distinctes qui correspondent Tune à la face supérieure du filet, l'autre à la face inférieure, et qui sont les enveloppes des ombres portées par les lignes tracées sur les deux hélicoïdes (art. 571). Ces arcs se raccordent par suite tangentiellement avec l'ombre de l'hélice saillante à leurs points de rencontre X* , v", , t" et <p\ .