CHAPITRE IV. - SURFACE DE LA VIS A FILETS CARRÉS. I 7 I

On peut, sans s'inquiéter du signe, déterminer l'extrémité P du diamètre qui est sur l'axe OY,, en cherchant par la construction directe le point de la courbe situé sur cette droite.

1052. Les tangentes au cercle PMO aux points 0 et P sont parallèles à la projection Rdu rayon de lumière. Nous savons d'ailleurs que les plans tangents à la surface de la vis à filets carrés ne sont verticaux qu'aux points situés sur l'axe. Les points dont la projection est P sont donc des points limites (art. 892). Ceux qui se projettent sur l'origine 0 ne sont pas limites, car les tangentes à une hélice aux points situés dans un plan méridien, de part et d'autre de Taxe, sont inclinées en sens contraire. Ainsi la tangente à l'hélice d'ombre (OMP, O'M'P'), au point (0, 0'), a une inclinaison en sens contraire de la tangente au point limite (P, P'). Ce résultat est conforme à celui que nous avons obtenu à l'art. 1006. On voit que les spires de l'hélice d'ombre sont alternativement réelles et virtuelles. Puisque cette hélice a des points limites, ses tangentes ont la même inclinaison que les rayons de lumière ; par conséquent, et en vertu du théorème de l'art. 954, l'ombre de cette courbe sur le plan horizontal, qui est l'ombre portée par la surface, est une cycloïde.

1035. Nous avons représenté sur hfîg- 4 19 la partie d'une surface de vis à filets carrés comprise entre deux hélices (AEIMA, A' ET M'A"), (AMIEA, A'MTE"A"), tracées sur un même cylindre, et deux génératrices (AI, A'), (AI, A"), situées dans un même plan vertical. Nous avons ensuite éclairé cette surface par des rayons parallèles à une droite (R, R'), et nous avons déterminé ses ombres sur elle-même et sur le plan horizontal.

La première partie du travail ne présente aucune difficulté. Nous nous bornerons à dire que nous avons divisé chacune des deux hélices en seize parties égales, et que nous avons tracé les génératrices qui passent aux points de division.

Pour avoir le point P, il faut construire la longueur OP ou #(art. 995), ou bien faire passer par la génératrice (01, V) un plan parallèle aux rayons de lumière, et chercher son point de contact (art. 1028). Les deux procédés conduisent à des tracés peu différents; nous avons adopté le second.

En prenant sur la tangente Ii, au cercle AI une longueur 1er égale à la moitié de la circonférence, et menant 0<7, on a la trace du paraboloïde de raccordement sur le plan horizontal AV. La trace du plan parallèle aux rayons de lumière, et contenant la génératrice (AI, 1'), est t't; la perpendiculaire abaissée de t sur 01 donne le point P. L'hélice d'ombre propre se projette horizontalement sur le cercle OP, et verticalement sur la sinusoïde A'OTO"A", qu'il est facile de construire.

Nous considérons la surface comme une feuille, et non comme recouvrant un corps solide; il résulte de là que la courbe d'ombre a toutes ses parties réelles,

mais un arc n'est utile sur une projection que quand les rayons de lumière tangents sont du côté vu de la surface.

Lorsque Ton considère les positions relatives de deux génératrices consécutives, telles que (CK, C'K") et (DL,D'L"), on reconnaît que la face de Thélicoïde, qui est supérieure quand on la considère d'un côté de l'axe, devient inférieure lorsqu'on la prolonge au delà de cette droite. Sur la projection verticale, chaque (ace, dans sa partie vue, est supérieure à droite de l'axe et inférieure à gauche.

La manière dont la surface est disposée étant bien comprise, le tracé des ombres ne peut présenter aucune difficulté. Sur la projection verticale, l'hélice d'ombre n'a pas d'arc utile; elle passe au point I' d'une face à l'autre, et appartient toujours a la partie cachée. Au point (0,0') l'hélice reste sur la même face, qui est supérieure d'un côté et inférieure de l'autre; il en résulte que, sur la projection horizontale, le cercle OP est utile d'un côté seulement du point 0.

En déterminant les ombres des génératrices sur le plan horizontal, on obtient: i° la cycloïde pphp2, trace du cylindre circonscrit parallèle aux rayons; a° les courbes abc ... qsa' et itj\kt . . . A,i2, ombres des deux hélices qui limitent la partie considérée de l'hélicoïde. Ces lignes sont des cycloïdcs allongées, engendrées par les points A et I lorsque le cercle PO roule sur la droite pptp2, après avoir été transporté parallèlement à lui-même, de manière que le point P soit en p. Pour avoir les ombres portées par la surface sur elle-même, il suffit de ramener sur la projection horizontale, et de relever sur la projection verticale, les lignes a/3y, ed et >»p données par la projection oblique ( * ).

Courbe (V ombre propre dans le cas où les rayons sont divergents.

1054. Quand les rayons sont divergents, on simplifie les opérations en prenant pour plan horizontal de construction celui qui contient le point lumineux S ( fîg. 4i i); alors, pour avoir la projection du point de la courbe d'ombre situé sur une génératrice OC, on trace par le point S une droite HG parallèle à cette ligne, et on la considère comme la trace d'un plan contenant la droite OC. On détermine ensuite le point de contact M de ce plan, comme il est expliqué à l'article 1028.

Si Ton suppose que la longueur OQ devienne infinie dans la construction représentée sur \&Jig. 4i6 (art. 1012), les points Q et D iront à l'infini sur OD, et par suite les droites SQ et SD seront confondues en une seule droite perpendiculaire à OM. D'après cela, pour avoir un point d de la tangente au point M à la

( l) Nous avons cru qu'il était inutile d'indiquer par des hachures retondue de l'ombre portée par la surface sur lo plan horizontal.