CHAPITRE IV. - SURFACE DE LA VIS A FILETS CARRÉS
la ligne brisée r7rrtQ. Dans le cas actuel, la ligne uKl\ se présente a peu près comme une droite.
L'angle saillant g' porte sur le cylindre de grand rayon une ombre j'j\ h' facile à construire.
Il est nécessaire de représenter sur la projection horizontale l'ombre que la face supérieure du filet reçoit d'une partie de l'arc F/. Cette ligne étant horizontale, il convient de faire la projection oblique sur son plan X'Y'. Une génératrice 1% a pour projection Ç,/4 ; son point de rencontre Ç, avec Yf fait trouver le point Ç de la ligne d'ombre GL.
Rayons de courbure. Lignes asymptotiques. Lignes de courbure.
1658. Les génératrices, étant perpendiculaires à l'axe, sont les normales principales des hélices (art. 953). Il résulte de là, d'après les théorèmes de l'article 935 : i° que les hélices sont avec les génératrices les lignes asymptotiques de la surface; 20 que la surface du second ordre, osculatrice le long d'une génératrice, est un paraboloïde isoscèle; 3° que les rayons de courbure principaux ont, en un point quelconque, des longueurs absolues égales.
On peut déduire ces résultats de ceux que nous avons obtenus pour la surface delà visa filets triangulaires, car la construction expliquée à l'article 1004, pour les asymptotes de l'indicatrice en un point de cette surface, montre que, quand le paramètre rest infini, c'est-à-dire quand Thélicoïde a un plan directeur, les secondes asymptotes des indicatrices aux différents points d'une génératrice sont perpendiculaires à cette droite.
La formule de l'article 826 donne, pour chacun des rayons R, etR,, l'expression très simple
x est l'abscisse mesurée à partir du point central, et k le paramètre dont la valeur est égale en grandeur absolue au pas réduit h> conformément au résultat trouvé à l'article 988.
Si Ton appelle 0 l'angle que la normale au point dont l'abscisse est x fait avec le plan horizontal, on aura, entre le rayon de courbure R< et sa projection horizontale y, la relation
y = R, cosô.
En introduisant la valeur que nous avons trouvée pour R|t et éliminant 0 par l'équation
tangS = |,
176 LIVKE IX. - SURFACES IIÉUCOIDES.
on obtient
yt-Xt^h2.
La projection sur un plan perpendiculaire à l'axe, du lieu des centres de courbure principaux d'une surface de visàfdcts carrés, aux différents points d9'une génératrice, est une hyperbole équilalêre dont l'axe transverse a une longueur double du pas réduit de la surface (').
1039. On peut, pour une surface de vis à filets carrés, déterminer directement le paramètre des génératrices, l'indicatrice et les rayons de courbure par la méthode de l'article 790.
En prenant pour axe des x, des z et des 7. une génératrice, l'axe de l'hélicoïde et une commune perpendiculaire, on trouve pour l'équation de cette surface
z = h arc tang — -
Nous transportons l'origine sur l'axe des abscisses a une distance xî9 et nous faisons tourner les axes des y et des s de manière qu'ils deviennent le premier tangent et le second normal à la surface. En appelant 0 l'angle que le plan tangent à l'hélicoïde à la nouvelle origine fait avec le plan central de la génératrice, nous avons pour la transformation des coordonnées
x = xK 4- x\
y=y sinô — s'cosd, -
5 = ycosô -hs'sinS.
La substitution de ces valeurs donne
(1) ycosO -+- z 'sm0 = h arc tang -
On a en général
arc tanga = a — {az -+- { a5 — -a1 ... ;
par conséquent, la différence entre un arc infiniment petit et sa tangente est seulement du troisième ordre.
Quand x' et y' sont infiniment petits du premier ordre, z' est infiniment petit
(!) On trouve, par des calculs analogues à ceux des articles 837 et 839, que la projection du lieu des ventres de courbure principaux d*un conoïde général, aux différents points d'une génératrice, sur un plan parallèle au plan directeur, est une hyperbole.
