CHAPITRE IV. - SURFACE DE LA VIS A FILETS CARRÉS. I
du second ; alors, d'après ce que nous venons de voir, si Ton néglige les termes du troisième ordre, l'équation se réduit à
j û . / • a 7 y' sin8 — z' cos6 Y cos6 -f- s sm 9 = hJ- : ;
d'où l'on tire
#,y cos9 -f- &4£'sin0 -h a/ycosS = Ay'sinô — As'cosô.
Cette équation doit représenter l'indicatrice; les termes du premier ordre disparaissent donc, et l'on a
x%y cosO = A^'sinô,
tango =Ç.
Il résulte de là que le paramètre des génératrices est égal au pas réduit en grandeur absolue.
Les termes du premier ordre étant supprimés, on a pour l'équation de l'indicatrice
xx z' sinô -f- x'y cos0 -h hz cosô = o.
En introduisant la valeur que nous venons de trouver pour tango, on a
Cette équation représente une hyperbole équilatère, et par suite les rayons de courbure principaux sont égaux et de signe contraire.
L'indicatrice, rapportée aux bissectrices des angles de ses asymptotes, a pour équation
Enfin, en opérant comme nous l'avons fait pour le tore à l'article 874, on obtient la valeur déjà trouvée pour la grandeur commune des rayons de courbure ('). 1040. Proposons-nous de déterminer les caractères de la surface gauche gé-
(!)La surface de la vis à filets carrés est le lieu des normales à une infinité de cylindres de révolulion. On peut par suite appliquer à cette surface, et de diverses manières, les théorèmes établis aux articles 819-858. On trouve ainsi immédiatement, par la formule de l'article 857, que le paramètre des
génératrices est égal au pas réduit, en grandeur absolue, car la tangente de l'angle ? est «- •
nérale dont les rayons de courbure ont en chaque point des grandeurs absolues égales.
Les indicatrices d'une telle surface sont des hyperboles équilatères, les lignes asymptotiques de la seconde série sont par suite les trajectoires orthogonales des génératrices, et la surface du second ordre osculatrice le long d'une génératrice quelconque G a la droite G pour ligne de striction. Cette surface est donc un paraboloïde isoscèlc (art. 645); sa seconde ligne de striction est une droite perpendiculaire à G et aux autres génératrices du même système.
Nous avons vu à l'article 656 que celle des génératrices d'un même système d'un paraboloïde qui passe au sommet a le plus petit paramètre. Le paramètre do G ne diffère donc de celui de la génératrice qui lui est infiniment voisine, que d'une quantité infiniment petite du second ordre.
Ces observations montrent comment sont disposées trois génératrices consécutives quelconques G, G', G" de la surface gauche :
Puisqu'elles appartiennent à un paraboloïde, elles sont parallèles à un même plan, et la surface a un plan directeur;
Puisqu'elles ont une commune perpendiculaire, la surface est un conoide droit;
Puisqu'elles déterminent deux paramètres consécutifs égaux, la hauteur de G' au-dessus de G et celle de G" au-dessus de G' sont proportionnelles aux angles de ces droites, et la surface est un hélicoïde.
La surface de la vis à filets carres est donc la seule surface gauc/ie dont les rayons principaux de courbure aient en un point quelconque des grandeurs absolues égales^).
Les lignes de courbure rencontrent toutes les génératrices sous un angle de 'p0. On peut facilement construire leurs projections.
1041. Nous allons maintenant rechercher les sections normales surosculées par des cercles. Pour cela, nous développerons l'équation (1) de l'article 1059, et nous la mettrons sous la forme de l'équation (r) de l'article 957, en négligeant les ternies qui sont infiniment petits d'un ordre supérieur au troisième, quand r' etv' le sont du premier.
Nous avons d'abord
L / • a / v'sinô — z' cosO h ( y' sinO — z' cosO)3 v cos5 4- z' sinO = h ■ ; T — — r- — ->
( ' ) Meusnier a démontré lo premier que, dans la surface de la vis à filets carrés, les rayons de courbure sont en chaque point égaux et de signe contraire (Mémoire cité à l'article 8I;>); quant à la proposition réciproque do l'article 1010, M. Catalan et plusieurs autres géomètres s'en sont occupés. On trouve des détails historiques sur cette question dans les Développements de Géométrie descriptive de Th. Olivier, p. J4o, et dans un Mémoire de M. Ossian Honnet, inséré au XXXIIe cahier du Journal de r 'Ecole Polytechnique y p. 1 34 •
