CHAPITRE IV. — PROBLÈMES RELATIFS AUX ANGLES TRIÈDRES

coupent. Les droites Sb et S6, se confondent donc lorsqu'elles se projettent sur Sm; l'angle trièdre est alors recomposé.

Lorsque la ligne EM est parvenue à sa position définitive, elle forme avec sa projection Em et avec la projetante du point M un triangle rectangle dans lequel l'angle en E mesure l'angle dièdre C. Nous connaissons l'hypoténuse et un côté de ce triangle, nous pouvons donc le construire» Si nous le rabattons sur le plan horizontal par une rotation autour de sa hase wE, son sommet se placera au point m' où la droite mm' perpendiculaire à ttcE rencontre l'arc décrit du point E comme centre avec EM pour rayon. L'angle m'JLw est l'angle cherché G.

On trouve de la même manière la grandeur m\Dm de l'angle dièdre A* Les droites mm! et mnii étant des rabattements d'une même projetante doivent être égales.

Si le point m se trouvait au delà de Se, l'angle G serait obtus, et Ton obtiendrait sa grandeur en prenant le supplément de l'angle toujours aigu m'Em. Quand le point m est dans l'angle opposé au sommet à cSa [jig. 55a), les deux angles A et C sont obtus.

72. Tous les points de la sphère dont nous avons parlé se projettent sur le plan horizontal, dans l'intérieur d'un cercle décrit du point S comme centre avec SM pour rayon [fig. 55). Quand les droites ME, M<D se rencontrent hors de ce cercle,, leur point d'intersection n'est la projection d'aucun point de la sphère; par suite, les arcs décrits par les points M et M< ne se coupent pas, et il n'est pas possible de composer un angle trièdre avec les angles plans donnés.

Si nous faisons varier la grandeur de l'angle aSbtf ou y, le point m prendra diverses positions sur la ligne M/i, et, d'après ce que nous venons de voir, quand il sera sur les prolongements de cette corde, le problème n'aura plus de solution. Or il est facile de reconnaître que si le point m se trouve au delà de n ou en deçà de M, c'est que l'angle 7 est plus petit que la différence aS/x(y?£. 57), ou plus grand que la somme aS/x, de ]3 et de a. Il faut donc, pour que l'angle trièdre existe, que l'un quelconque des angles plans soit plus petit que la somme des deux autres.

Si cette condition n'était pas satisfaite, le triangle Emm' ne pourrait pas être construit, car l'hypoténuse Em\ qui est égale à EM ou En, se trouverait plus petite que le côté E/ft.

La discussion que nous venons de faire est complète pour le cas où l'angle ftSa, somme des deux angles a et ]3 que nous supposons invariables, est inférieur à 180 degrés; mais quand il dépasse cette grandeur, c'est son supplément à 36o degrés qui est la limite supérieure de l'angle 7. Nous ne nous arrêterons pas à cette étude, qu'il est facile de faire sur une figure établie pour ce cas.

Il existe ainsi une seconde condition : l'angle dièdre n'est possible que quand la somme des angles plans est inférieure à 36o degrés.

28 LIVRE 1<?. — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS

75. Nous n'avons déterminé que deux des trois angles dièdres; pour obtenir le troisième en conservant aux angles donnés leur disposition sur la figure 55, nous traçons les lignes M6 et M, H respectivement perpendiculaires à Se et à Sô, ; ces lignes comprennent dans l'espace l'angle B quand les faces cSb et aS6, sont remises en position; elles forment alors un triangle dont la base est GH, et qu'on peut facilement construire rabattu sur le plan horizontal. Son sommet M' est déterminé par deux arcs de cercle ayant pour centres G et H, et pour rayons GM et HM, . L'angle GM'H est l'angle cherché A.

Le plan du triangle est perpendiculaire à la troisième arête, sa trace GH doit être par conséquent perpendiculaire à la projection S m de cette droite (art. 40). Dans lft rabattement, le sommet du triangle se meut dans le plan dont la trace est Sm, et le point M' où il vient se placer doit être sur cette ligne.

74. Rien n'indique dans la construction si l'on a fait tourner les plans cSb et aS6| de manière à les élever au-dessus du plan de la figure ou à les abaisser au-dessous de lui : cela montre que les deux angles trièdres, qui peuvent être composés par ces mouvements différents, ont les mêmes angles dièdres. Ils ne sont pas superposables, mais symétriques.

On peut placer dans un ordre quelconque les trois angles donnés, ils correspondent toujours à un même angle trièdre et k son symétrique.

75. Le point N (fig. 55) est à égale distance des points M, et m', parce qu'il se trouve sur les axes Sa et En des deux rabattements. On peut donc déterminer la position du point m' sur l'arc Mm', par un second arc décrit du point N comme centre et passant par M,. Nous allons donner un exemple de cette construction qui est préférable à celle que nous avons exposée, quand on ne cherche que l'angle dont l'arête est Se.

Dans le levé des plans, on a souvent besoin de réduire un angle à l'horizon, c'est-à-dire de déterminer la projection horizontale d'un angle connu y dont les côtés font, avec la verticale abaissée du sommet, des angles donnés a ef/3.

Cette verticale et les deux côtés de l'angle y sont les arêtes d'un angle trièdre dont on connaît les trois angles plans. La projection demandée est l'angle reetiligne qui mesure le dièdre des faces verticales.

Par un points (fig. 56) nous traçons quatre droites S6, Se, Sa et Sô4 formant entre elles les angles a, /3 et 7; la seconde de ces lignes est verticale. Nous considérons les deux espaces angulaires bSc et biSa comme les rabattements de deux faces de l'angle trièdre sur le plan vertical de la face cSa.

Nous prenons un plan horizontal déterminé par une ligne de terre EN; il coupe l'arête Sb en un point M que nous rapportons en M, sur le second rabattement S 6, de cette ligne, par un arc décrit du point S comme centre.

Supposons maintenant que l'on fasse tourner les faces bSc et 6, Sa respectivement autour de Se et de Sa pour recomposer l'angle trièdre; le point M décrira