CHAPITRE IV. — PROBLÈMES RELATIFS AUX ANGLES TRIÈDRES

dans le plan horizontal un arc de cercle dont le point E sera le centre; le point M4 restera toujours à la même distance de N. Nous pouvons donc déterminer par recoupement le point m! du plan horizontal oh les points M et Mf se rejoindront. L'angle réduit à l'horizon est NEm'.

La seule différence avec la figure 55, c'est que nous avons rabattu la face bSc sur la face aSe et non en dehors.

Dans cet exercice, nous avons supposé les angles placés sur un plan vertical, pour ayoir égard à la nature des données.

Deuxième cas.

76. Connaissant deux faces a et fi d'un angle triêdre et V angle dièdre C qu'elles comprennent, trouver la troisième face 7 et les deux autres angles dièdres À et B.

Par un point S [fig. 58), nous traçons trois droites Sb9 Se et Sa qui comprennent entre elles les angles plans donnés; puis, d'un point M pris arbitrairement sur Sb9 nous abaissons une perpendiculaire sur Se.

Pour placer la face bSc dans sa véritable situation par rapport à aSe, il faut la faire tourner autour de Se, jusqu'à ce que la droite ME forme avec EN l'angle donné Ç. Cette ligne ME, sa projection sur EN et la projetante du point M sont alors les trois côtés d'un triangle rectangle dont nous connaissons l'hypoténuse ME et l'angle en E égal à C. Nous pouvons construire ce triangle sur le plan de la figure en supposant qu'il ait tourné autour de sa base. Nous obtenons ainsi la projection m du point M de l'espace.

La position M( du point M, lorsqu'il est rabattu avec le plan de la troisième face, est sur la circonférence décrite du point S comme centre avec SM pour rayon, sur la perpendiculaire à Sa abaissée de la projection m du point de l'espace, et sur la circonférence décrite du point N comme centre avec N/n' pour rayon. Nous avons donc une vérification.

La droite MN peut être considérée comme une ligne de terre; E/n' est alors la trace verticale du plan de la seconde face.

Les trois angles plans sont maintenant connus; on achèvera la solution du problème comme il est dit aux articles 71 et 73. Il n'y a pas de cas d'impossibilité.

Troisième cas.

77. Connaissant deux faces a et fi d'un angle triêdre y et l'angle À opposé à l'une d'elles y trouver la troisième face 7 et les deux autres angles dièdres B et C.

Par un point S {fig. 59) nous traçons trois droites Sb, Se et Sa, qui comprennent entre elles les angles plans donnés. Nous menons ensuite une droite xK

3o LIVRE 1". ~ DE8 LIGNES DROITES ET DES PLANS..

perpendiculaire à Sa, et nous la considérons comme la trace d'un plan vertical que nous rabattons ; son intersection avec la troisième face est alors la ligne Ky qui fait avec Kx l'angle donné À.

Toutes les données sont maintenant sur la figure.

D'un point M de S b abaissons une perpendiculaire MN sur Se : si nous concevons que la face bSc soit ramenée dans sa véritable position par une rotation autour de Se, les points M, E et N seront les sommets d'un triangle dont deux côtés EN et EM sont connus; le troisième côté, considéré comme une droite indéfinie, a un de ses points projetés en r, car le plan du triangle est vertical.

En élevant rr\ perpendiculaire à a?K, nous déterminons sur Kj le point r\ du plan de la troisième face qui se projette en r; la grandeur de la projetante est donc rr\ . Si, par une rotation autour de EN, nous rabattons sur le plan horizontal le triangle dont nous avons parlé, le point qui se projette en r se placera en r' à une distance de EN égale à rr\. La droite dont un segment forme le troisième côté du triangle est ainsi Nr'.

En décrivant un arc de cercle du point E comme centre et avec EM pour rayon, on détermine sur Nr' les point m\ et /n'a, qui peuvent être indifféremment adoptés comme sommet du triangle ou'rabattement du point M de l'espace.

Nous connaissons les distances de ces points au point N et leur éloîgnepent du point S, qui estMS; nous pouvons donc déterminer par des arcs de cercle leuré positions M( et M2 quand la troisième face est rabattue sur le plan horizontal. On pourrait aussi déterminer les projections mi et m2 sur EN, et abaisser de ces points des perpendiculaires sur Sa.

Les droites Ky et Nr' sont les traces du plan de la troisième face sur lès plans verticaux, dont les lignes de terre sont K# et Ne. La construction pour déterminer Nr' revient à celle que nous avons exposée pour le changement du plan vertical de projection (art. 59).

Pour avoir les grandeurs de l'angle C, il suffira de joindre les points m\ et m2 au point E. L'angle B sera donné par la construction expliquée à l'article 73.

78. On obtient autant de solutions que le demi-cercle M/i a de points communs avec la droite indéfinie Nr'. Un point de rencontre de cette ligne avec l'autre moitié du cercle correspondrait à un angle trièdre dans lequel l'angle dièdre le long de Sa serait supplémentaire de A.

D'après cette règle, et pourvu qu'on ait soin de faire toujours les rabattements dans le même sens, par rapport au sommet S, que sur la figure 59, on reconnaîtra facilement s'il y a une ou deux solutions ou si l'angle trièdre est impossible.

Sur h figure 5$ bis, on ne trouve qu'une solution. Le point rabattu en r' et en r\ est au-dessous du plan horizontal.

Nous donnerons plus loin (art. 159) une solution différente et plus simple du problème de l'angle trièdre dans le troisième cas.