CHAPITRE V. - HÉLICOÏDES NON RÉGLÉS. l8ï

en M\ tracer la tangente M'T et remplacer l'hélicoïde par la surface de vis à filets triangulaires qui a le même pas, le même axe (0, XZ), et dont la droite (0#, T'M') est la génératrice dans sa position initiale. On appliquera a cette surface l'une des deux méthodes expliquées k l'article 991; la seconde exige que l'on détermine le paramètre r(art. 989).

En appelant a, a, , aat ... les angles que les tangentes à la méridienne aux points M', M',, M'2, ... font avec le plan horizontal, et r9ri9r2,... les paramètres des surfaces de vis à filets triangulaires de raccordement le long des hélices décrites par ces points, on aura

r=Acota, r, = A cota,, r2 = Acota2, ..., d'où

rtanga = r, tanga, = r2tanga2==

Cette relation conduit à une construction très simple des paramètres r, , r2,..., qui serviront a déterminer le plan tangent en divers points des hélices qui passent aux points M',, M'2,

1044. Ligne d'ombre. — Si Ton veut connaître les points d'une courbe d'ombre qui appartiennent à l'hélice décrite par un point déterminé, on remplacera, comme précédemment, l'hélicoïde par la surface de vis à filets triangulaires de raccordement, et l'on appliquera ensuite la construction de l'article 997 ou celle de l'article 1010, selon que les rayons seront parallèles ou divergents.

Dans le premier cas, quelle que soitl'hélice considérée sur la surface, le cercle auxiliaire P/iN (fig. [\o \ ) reste invariable, car son rayon est égal à h eoty (art. 997). La distance du point F à l'origine 0 est égale au paramètre r que l'on détermine comme nous l'avons dit à l'article précédent, d'après l'inclinaison de la génératrice de la surface de vis a filets triangulaires. Des quatre points M, M,, met mx% situés sur le cercle G g projection de l'hélice considérée, deux seulement sont utiles : on verra dans chaque cas à quelle nappe de la surface de vis à filets triangulaires appartient l'hélice de raccordement, et l'on rejettera les deux points qui ne sont pas sur cette nappe en se réglant sur les indications des fig. 398, 4oo et 402 ( f ).

Si la génératrice donnée n'était pas dans un plan contenant Taxe, pour avoir la tangente à la méridienne, il faudrait construire le plan tangent à la surface et déterminer sa trace sur le plan méridien du point de contact.

1045. Dans le cas que nous examinons, c'est-à-dire quand les rayons sont

(M Bour a été conduit par des considérations de cinématique à une construction dans laquelle on emploie un cercle variable et un point fixe, au lieu d'un cercle fixe et d'un point ayant une position variable (voir la séance do la Société Philomatliique du 4 juin 1864).

parallèles, on peut opérer directement sans considérer une surface de raccordement.

Soient (R, IV) le rayon de lumière (Jig. /|25), jr la méridienne de l'hélicoïde, (0, O'Z) Taxe, (AA2, A'A2)les projections de l'hélice décrite par un point (A, A') de / :~nous allons chercher quels sont les points de cette hélice qui appartiennent à la ligne d'ombre propre de la surface.

Nous construisons d'abord le plan tangent au point (A, A7); pour cela, nous prenons un plan horizontal d'opération XY situé au-dessous de ce point à une hauteur égale à une fraction simple du pas, le huitième. La tangente à l'hélice au point(A, A') a sa trace au point gtt à une distance du point A égale à l'arc A#, huitième de la circonférence. La tangente à la méridienne perce le plan horizontal au point T : le plan tangent a donc pour trace horizontale T^,; il rencontre l'axe au point (0, 0').

Tous les plans tangents à l'hélicoïde aux points de l'hélice (AA2,A'A2) font, avec le plan horizontal, le même angle que le plan (Ti, T'O'); ils sont donc parallèles aux plans tangents au cône de révolution dont le sommet est le point (0, 0), et dont la trace est le cercle qui a pour rayon la droite Oit perpendiculaire à Tgv

Les génératrices de ce cône, le long desquelles le plan tangent est parallèle aux rayons de lumière, sont Ok{ etO£2(art. 131). Si nous prenons les arcs c,A, et c> A2 égaux à cA, les points A, et A2 seront les positions du point A lorsque le pointeaura été transporté en c{ et en<?2. Les points (A,, A'J et (A2,A2) sont donc ceux de l'hélice où le plan tangent à la surface est parallèle aux rayons de lumière ( ').

Il n'y aurait que très peu de modifications à apporter aux tracés, si la génératrice donnée n'était pas méridienne.

On peut encore déterminer la courbe d'ombre en faisant des sections par des plans parallèles aux rayons de lumière, et en menant a ces courbes des tangentes parallèles aux rayons. Pour que les constructions soient faciles, il faut prendre les plans auxiliaires perpendiculaires au plan vertical (art. 1042) et opérer sur les projections horizontales des sections. Ce procédé est applicable au cas où les rayons sont divergents ; il a l'avantage de donner en même temps des points des deux courbes d'ombre propre et d'ombre portée.

1046. Normale. — Nous allons maintenant nous proposer de construire la normale à la surface en un point (31, M') du méridien principal [Jig. !\2i).

Nous plaçons le plan horizontal au-dessous de ce point, à une hauteur égale au quart dupas des hélices; pour avoir un point E de la ligne de terre, il suffi I de prendre au-dessous du point M' une longueur M'E égale à l'J.

( / ) Cette méthode a été employée par le chevalier Kaà de Bruno {Mémoire sur les colonnes torses).