CHAPITRE V. - I1ÉL1G0IDES NON REGLES. I

La trace L de la tangente à l'hélice au point M est sur la droite ME à une distance ML égale au quart de cercle MQ. On détermine facilement la trace T de la tangente à la méridienne : le plan tangent est donc (TL, T'M'). On obtient les projections de la normale en abaissant des points M et M' des perpendiculaires MG et MF' sur les traces TL et TM wde ce plan.

1047. Surface de vis à filets triangulaires normale. — La normale ( MF, MF' ) ne rencontre pas l'axe, et par suite, dans le mouvement hélicoïde, elle engendre un hélicoïde gauche général. Le plan tangent à cette surface au point (M, M') contient la normale à la surface et la tangente à l'hélice; ses traces sont par conséquent LF et K'M'.

Si la droite K'M' trace verticale du plan tangent à l'hélicoïde des normales est entraînée dans le mouvement hélicoïde, elle décrira une surface de vis à filets triangulaires qui se raccordera avec cet hélicoïde gauche le long de l'hélice décrite par le point (M, M'), et qui, par conséquent, rencontre normalement la surface considérée ( * ).

Quand la génératrice donnée de l'hélicoïde n'est pas méridienne, ses tangentes décrivent des surfaces gauches hélicoïdes générales; mais, par une construction analogue à la précédente, on peut déterminer des surfaces de vis à filets triangulaires de raccordement.

1048. Intersection d'un hélicoïde et d'un conoïde. — Dans certains problèmes de Stéréotomie, on a besoin de déterminer l'intersection d'un hélicoïde et d'un conoïde droit de même axe. On prend alors pour surfaces auxiliaires des surfaces de vis à filets carrés ayant le même pas et le même axe que l'hélicoïde : leurs intersections avec cette surface et avec le conoïde sont, sur le plan borizontal, des droites et des cercles. La construction de la projection horizontale ne diflerc donc pas de celle que nous avons expliquée pour l'épure de la voûte d'arêtes en tour ronde (art. 671).

Indicatrices.

1049. On trouve, par l'analyse (art. 1049a), que pour déterminer les projections horizontales des asymptotes de l'indicatrice d'une surface hélicoïde en un point donné (M, M') de la méridienne / {fig. /p3), il faut : i° déterminer le paramètre r de la surface de vis à filets triangulaires qui se raccorde avec l'hélicoïde

(*) Les apparei lieu rs avaient adopté pour génératrices des lits do la vis Saint-Gilles rondo des rayons d'une des demi-circonférences méridiennes de l'intrados; mais les lits ainsi obtenus sont obliques à l'intrados. Aussi Jules de la Gournerie a proposé pour lits les surfaces de vis triangulaires normales engendrées par les droites analogues à K'M'. J'ai déterminé la valeur de l'angle de ces deux espèces dt» lits (Nouvelles Annales de Mathétnatif/ues, janvier i88{). (K. L. >

l84 LIVRE IX. - SURFACES HÉLICOIDES.

le long de l'hélice du point (M, M'), et porter ce paramètre en OQ sur une pert pcndiculairc à OM, du côté où s'étend la branche de la spirale d'Archimède sur laquelle est la trace de la génératrice MI; 20 construire la projection MG de l'une des asymptotes de l'indicatrice de la surface qui serait engendrée par la révolution de la méridienne autour de l'axe (art. 822); 3° prendre sur la droite OM une longueur OC égale à OG, puis décrire un cercle passant par le point C et ayant son centre en Q : les points P et P,, où ce cercle rencontre la droite OQ, appartiennent aux asymptotes cherchées.

1149a. Voici la démonstration des constructions indiquées dans l'article précédent. L'équation des projections horizontales des asymptotes de l'indicatrice en un point (xfy,z) est

a et b étant les coordonnées variables, et r, s, t les dérivées partielles du second ordre de l'ordonnée z considérée comme fonction des coordonnées x et r.

Nous allons nous proposer de déterminer r, s et t.

Soit

l'équation de la méridienne. Si l'on appelle p le rayon vecteur d'un point, w son azimut et /* le pas réduit commun des hélices, l'équation de l'hélicoïde sera

z — boi H-/(p);

on a d'ailleurs

w — arc lang— >

P = vA*, + y\

et par suite

din dx

sinto du cosw

dp do

-^-=COSU), -7-zzSinw,

dx dy

p ' dy~~ p

D'après ces valeurs, et en diflërentiant l'équation de la surface, on obtient

Asinu) P = h/(p)cosu>,

Acosto „. v .

<l = — h/(p)sinw,

h sinsjtu Jf/ x sin'w m/ x r=— i— +/(?)— -+/*(p)cos'u>, P P

/*cos2to . .sintucosw rnt v . s = f(p) y-f (?) sinwcosw,

//sin2w rft x cos2tu .

I = -z h/(p)-__+/(p)sinîtu.

On peut supposer que l'on a pris pour méridienne principale celle qui passe par le point considéré; alors y et to sont nuls, p est égal à x, et l'on a pour déterminer les projections