CHAPITRE V. - HÉLICOIDES NON RÉGLÉS
des asymptotes de l'indicatrice
r(.r-fl)!-2S(^-âf)^-ht^ = o,
En appelant fi le rayon de courbure de la méridienne au point considéré, et * l'angle que la tangente à cette courbe fait avec Taxe des abscisses, on a
*/ \ u (i-f-tang1*)2
On tire de la seconde équation
■^(af)-Rcôﻫ'
La substitution des valeurs de/'(.r) et de f'(x) dans les secondes dérivées donne
.. ' , h tanga
Rcos'a xx x
Les projections des asymptotes de l'indicatrice du point considéré seront connues quand on aura les ordonnées des points P et Pi où elles rencontrent l'axe 0/ (fig* 4^3). Faisant l'abscisse a nulle dans l'équation de ces droites, on obtient, pour déterminer l'ordonnée OP que nous appelons bu la formule
t b \ — 2 s x bx -+- r x1 = o, d'où l'on lire
En portant dans cette équation les valeurs de r, s et t, on trouve
!>! = — /* cota ±: i/ h1 COt'a
Rcos^sin*
Si l'on suppose h nul, la surface sera de révolution, et, en appelant b\ la valeur que prend
alors &t,on a
1 Rcos,asina
Désignons maintenant, comme précédemment, par la lettre r, le paramètre de la surface de vis à filets triangulaires de raccordement. Nous avons
r = hcotz;
en introduisant ces valeurs dans l'expression de bi9 on obtient
ft1 = —r±v^r1 -+-*;«.
On déduit immédiatement de cette formule la construction que nous avons donnée à l'art. 1050.
l86 LIVRE IX. - SURFACES HÉLICOIDES.
Quand R est infini, b\ est nulle, et les deux valeurs de bx sont o et — a/\ En rapprochant ce résultat de celui que nous avons obtenu à Farticle 1004, on reconnaît que l'ordonnée bx doit être considérée comme négative, quand elle est dirigée du côté où s'étend la branche de la spirale d'Archimède sur laquelle se trouve la trace de la génératrice de l'hélicoïde gauche de raccordement.
La construction de l'article 1050 repose sur celte observation que b\* change de signe en conservant la même grandeur absolue quand R change de signe.
Quand a est nul, les valeurs des dérivées partielles sont
Une des valeurs de b{ devient infinie; on a pour l'autre
bl — —
2Rh
Reprenons maintenant l'équation trouvée plus haut pour la projection des asymptotes
de l'indicatrice
Si nous supposons que le plan horizontal passe par le point considéré, et si nous appelons c l'ordonnée verticale variable, l'équation du plan tangent sera
cn-p(j7 — a) — qô=o.
Ces deux équations représentent les asymptotes de l'indicatrice.
Nous avons trouvé au commencement de cet article les valeurs de r, s et t. On obtient, en raisonnant de la même manière,
p=tanga, q = -- La substitution des valeurs des dérivées partielles donne
-- (.r - aY -+- -7i [x-a)b-\ ^- b*- =-- o,
R cos*a
c -h (.r — a ) tarifa b — o.
En éliminant h entre ces équations, nous aurons l'équation du cône que forment les asymptotes de l'indicatrice du point considéré /(//#. 1^3), pour toutes les surfaces hélicoïdes que cette courbe peut engendrer en tournant autour de l'axe OZ. On trouve
H — (jt — af -+- - — — />2 -h 2 c — o.
. R COS* a
Nous rappelons que les coordonnées variables sont a, b, c, et que x représente l'abscisse du point considéré de la méridienne y.
Nous voyons que le cône formé par les asymptotes des indicatrices est du second ordre. On reconnaît facilement que ce cône est toujours réel, et qu'un de ses plans tangents est parallèle au plan méridien perpendiculaire à celui qui contient la courbe /.
