CHAPITRE V. — HÉLICOIDES NON RÉGLÉS. I

1050. Quand le point M' est sur la partie de la méridienne qui tourne sa concavité vers Taxe {fig. 4^4)» les asymptotes de l'indicatrice de la surface de révolution sont imaginaires; il faut alors prendre sur le prolongement de la normale une longueur A, M' égale à AM\ et opérer comme si le centre de courhure était en A',. On détermine et on porte sur Oj, comme il a été dit précédemment, la longueur OQ du paramètre r; on trace la droite MG, celle des asymptotes de l'indicatrice de la surface de révolution qui rencontre 0/ du côté du point 0 ou se trouve le point Q; on décrit ensuite un cercle de diamètre OQ, un second cercle du point 0 comme centre, avec OG pour rayon, et un troisième cercle ayant son centre en Q, et passant par le point S où les deux premiers se coupent. Les points P et Pf , où ce dernier cercle rencontre la droite OQ, appartiennent aux asymptotes cherchées.

Quand la longueur OQ est plus petite que OG, le point M' est sur la partie convexe de l'hélicoïde; lorsque les points G et Q coïncident, les deux asymptotes de l'indicatrice sont réunies en une seule droite, et l'hélice qui passe par le point M' sépare une partie convexe de la surface d'une partie à courbures opposées.

Prenons sur la méridienne du point M' une longueur M'/rc égale a QG, en ayant soin de la porter du côté de la concavité ou du côté de la convexité, suivant que le point G sera en deçà ou au delà de Q; considérons ensuite sur la méridienne d'autres positions du point M', et, faisant la même construction pour chacun d'eux, déterminons la courbe ç> lieu des points m : cette ligne coupera la méridienne en un point N situé sur une hélice qui sépare une partie convexe d'une partie à courbures opposées. La courbe <p, considérée dans toute son étendue, pourra rencontrer la méridienne en plusieurs points.

1051. Lorsque l'on sait construire les asymptotes de l'indicatrice, on peut déterminer les tangentes à l'intersection d'un hélicoïde par un plan tangent et à sa ligne d'ombre. Pour obtenir les points limites des parties utiles de cette dernière ligne, il faut employer une courbe d'erreur analogue à celle dont nous nous sommes servi pour les surfaces de révolution (art. 894 et 898).

Si les rayons sont divergents, on cherchera l'intersection des asymptotes de l'indicatrice, aux divers points de la méridienne, et du cylindre de révolution dont l'axe se confond avec celui de la surface et qui contient le point lumineux; puis, supposant ce point entraîné dans le mouvement hélicoïde, on déterminera les rencontres de l'hélice qu'il décrit avec la courbe d'intersection précédemment obtenue et les asymptotes qui passent par ces points. On achèvera ensuite la solution comme pour les surfaces de révolution (').

(>) Ce procédé a été indiqué par M. Viala dans son Mémoire sur la vis Saint-Gilles [Journal de VÊcole Polytechnique, XXXVIIe cahier).

igo MVRE IX. - SURFACES HELICOIDES.

veut étudier avec soin les singularités du contour apparent. On voit alors les rebroussements se produire d'une manière très nette : à chacun d'eux, un cercle rencontre les deux cercles voisins d'un même côté de son point de contact avec l'enveloppe dont la direction est déterminée par les tracés qui ont été précédemment faits. Lorsque, avant le rebroussement, la courbe était extérieure aux cercles, après lui, elle les touche intérieurement, et par conséquent elle est virtuelle si l'on considère la surface du serpentin comme recouvrant un corps opaque.

Les quatre cercles sur lesquels se trouvent les rehaussements sont voisins de ceux qui ont leurs centres aux points (d, d')9 (/,/'), (/. /') et (n, /*').

Les projections horizontales des contours apparents des sphères par rapport au plan vertical sont des droites parallèles k la ligne de terre et passant par les différents centres. En ramenant sur ces lignes les points de contact avec les cercles du contour apparent sur le plan vertical, on a des points de la projection horizontale de cette courbe. Les positions des points de contact ne sont pas données avec précision, et par suite les projections CiiaC et DilaD ne sont pas tracées avec une grande exactitude. Toutefois cette méthode rapide devra être adoptée en général.

Si l'on voulait opérer avec précision, on considérerait la génératrice non méridienne N'a'M', on déterminerait pour différentes hélices des surfaces de vis h filets triangulaires de raccordement (art. 10i7), et enfin on chercherait pour chacune d'elles les points de la courbe situés sur l'hélice de contact (art. 10 â4). Ces tracés ne sont pas difficiles.

La surface a trois formes différentes, suivant que le rayon de la sphère est inférieur, égal ou supérieur au rayon A#OA du cylindre sur lequel est tracée l'hélice directrice.